基本 例題 48 数列の一般項と数学的帰納法
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a1=-1, an+1=an²+2nan-2 (n=1, 2, 3, ...) で定義される数列{an} に
明せよ。
CHART & SOLUTION
ついて,一般項 αn を推測し, それが正しいことを,数学的帰納法を用いて証
[宮崎大 ]
p.420 基本事項 1 基本45
漸化式と数学的帰納法
n=1,2,3,
で調べて化 (一般化)
実際に n=1,2,3,
……… のとき (a1,a2, Q3, ……………)を求め,その規則性からan を推測し,
それを証明する。 基本例題 30のINFORMATION も参照。
解答
α=-1, a2=a2+2・1・α-2-3
a3=az2+2・2・α2-2=-5
a=a2+2・3・α3-2=-7
ゆえに, an=-2n+1 ...... ① と推測される。
すべての自然数nについて ①が成り立つことを数学的帰納
法で証明する。
[1] n=1のとき
(−1)2+2(−1)-2
(-3)2+4(-3)-2
(-5)²+6(-5)-2
←負の奇数、すなわち
-(2n-1)=-2n+1
① で n=1 とすると
a=-1
よって, ① は成り立つ。
[2] n=k のとき ①が成り立つと仮定すると
1
ak=-2k+1
AS
n=k+1 のとき, 与えられた漸化式から
ak+1= (ak)2+2kak-2
AS
漸化式でn=kとする。
M
=(-2k+1)2+2k (-2k+1)-2k=-2k+1 を代入。
=-2k-1
1
=-2(k+1)+1
したがって, n=k+1 のときにも①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。
