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重要 例跡113 新化式と極限 (5)
0
数列 (an)が0<a<3, ants=1+V1+an (n=D1, 2, 3, …)を満たすとき
(2) 3-an+」< (3-an) を証明せよ。
事項
(1) 0<an<3を証明せよ。
物
p.174 基本事項 3, 基本
重要
③ 数列 (an) の極限値を求めよ。
る場
指針> (1) すべての自然数nについての成立を示す→数学的帰納法 の利田
(2)(1)の結果,すなわち an>0, 3-an>0であることを利用。
とよ
(3) 漸化式を変形して, 一般項 a, をnの式で表すのは難しい。そこで, (2) で示しか。
式を利用し,はさみうちの原理 を使って数列 (3-an}の極限を求める。
はさみうちの原理 すべてのnについて pSanいg,のとき
lima,=α
lim p=limg,=αならば
→の
なお,次ページの補足事項も参照。
はさみうち
CHART 求めにくい極限 不等式利用で
解答
1
数学的帰納法による。
のとする。
[1] n=1のとき, 与えられた条件から①は成り立つ。
[2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 0<aぇ<3
n=k+1のときを考えると, 0<an<3であるから
ah+1=1+/1+ae >2>0
ah+1=1+/1+a <1+V1+3%=3
(1) 0<anく3 …
40<a<3
40<ak から 1+a,>1
Ma<3から 「1+a<!
したがって
0<ak+1<3
よって, n=k+1のときにも① は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数 nについて① は成り立つ。
(2) 3-an+1=2-V1+an =
3-an
く
(3-an>0であり, a,>02
ら 2+1+a,>3
(3)(1), (2) から
0<3-a.s()(3-a)
lim(3-a)-0であるから 「成立はれl
11-1
1カ-1
3
イn22のとき, (2) から
5はれに!
(ワー8)->D-8
く0-)
lim(3-an)=0
1→0
したがって
liman=3
ワー8))>
n→0
(ワー9).().
練習
a=2, n>2のとき an=Van-1 -
113
(1) すべての自然数nに対して an>1であることを証明せよ。
(2) 数列 (an} の極限値を求めよ。
3
2
を満たす数列{an} について
【類関西大
