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重要 例題 35 数字の順列(数の大小関係が条件)
次の条件を満たす整数の組 (ai, a2, as, as,
(1) 0<a<asくas<a<as<9
ま
as)の個数を求めよ。
(2) 0SaSa2Sassasass3
基本 33,34
め
350
8の8個の数字から異なる5個
に
指針> (1) a, a, …, asはすべて異なるから, 1, 2, ……,
を選び、小さい順に ai, az, ……, asを対応させればよい。
求める個数は組合せ。Csに一致する。
て5個を選び,小さい順に a, a2, ………, as を対応させればよい。
求める個数は重複組合せ Hs に一致する。
(3) おき換えを利用すると, 不等式の条件を等式の条件に変更できる。
3-(ataztasta4tas)=bとおくと ataztasta4tastb=3 1
また, ataztasta,tass3から
よって,基本例題34(1) と同様にして求められる。
き 肉
ーム
b20
解答
検討」
うにして解くこともできる。
(2) [p.348 検討の方法の利
用) b=a;+i(i=1, 2, 3,
4,5)とすると, 条件は
0<b」くb2くbsくbょくbsく9
と同値になる。よって,
(1)の結果から 56個
(2), (3)は次のよ
8の8個の数字から異なる5個を選び,小さい
順に a, a2, ……, asとすると, 条件を満たす組が1つ決ま
る。
よって,求める組の個数は
(2) 0, 1, 2, 3の4個の数字から重複を許して5個を選び, 小 。
さい順に a1, a2, ………,
決まる。
よって, 求める組の個数は
(3) 3-(a+aztastas+as)=bとおくと
ataztastastas+b=3,
a20(i=1, 2, 3, 4, 5), b20
よって,求める組の個数は, ① を満たす0以上の整数の組の
個数に等しい。これは異なる6個のものから3個取る重複組とすると, A, B, C, D,
合せの総数に等しく
8Cs=&C=56 (個)
as とすると,条件を満たす組が1つ
H;=4+5-1C。=&C5=56 (個) (3) 3個の○と5個の仕切り
を並べ,例えば,
1O|1〇○|| の場合は
(0, 1, 0, 2, 0)を表すと
|考える。このとき,
の
A|B|C|D|E|F
Hs=6+3-1C。=&C。=56 (個)
別解 a+az+as+as+as=k(k=0, 1, 2, 3) を満たす0以
上の整数の組(a, az, as, a4, as) の数はH。 であるから
sHo+sH」+sH2+sHs=,Co+sCi+C2t,C3
Eの部分に入る○の数をそ
れぞれ a1, a2, Q3, at, as
とすれば組が1つ決まるか
ら
=1+5+15+35=56(個)
Ca=56 (個)
