例題 22
xyz 空間内の3点 A(1,0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 1, 1) を頂点とする三
角形の周および内部を, z軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求
めよ。
(類名古屋大)
考え方 回転軸から最も遠い点および近い点までの距離は?
【解答1)
平面2=t (0Stい1) と,
x
線分 AC:y
(0SSA1)
1-t
1-t
1
P(0, 0, t)
との交点は, Q(1-t, t, t).
線分 BC:y=1, x=0 との交点は,
t
y
0
LA(1, 0, 0)
よって,三角形 ABC の平面 z=t による
0St<1 のとき, 線分 QR,
t=1 のとき, 点 C(0, 1, 1)
である。これをz軸のまわりに1回転してできる図形
切り口は,
1R
Q(1-t, t, t)
t
の面積 S(t) は,
2
T*12-
S(t)={
元*12-x(t°+(1-))=x(2t-2f"). (stい1) (P)
2'
0 1-t
1
x
よって,求める立体の体積 V は,
V=['soat=[gd+n(21-2")dt
2
+ェ.
3
5元
12°
π
84-
2
(答)
ニ
ニ
4
