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基本 例題 126 2次方程式の解と数の大小 (2)
00000
2次方程式 ax²-(a+1)x-a-3=0が, -1<x<0, 1 <x<2の範囲でそれぞれ
つの実数解をもつように,定数 αの値の範囲を定めよ。
重要 12
p.191 基本事項
指針 f(x) =ax²-(a+1)x-a-3 (α≠0) としてグラ
[a>0]
フをイメージすると, 問題の条件を満たすには
y=f(x) のグラフが右の図のようになればよい。
すなわち f(-1) f (0) 異符号
la<0
y=f(x)
e
0 1
+
0
2x
[f(-1)(0) <0]
y=f(x)
かつ f(1) f (2) が異符号
[f(1)(2)<0]
である。 αの連立不等式を解く。
CHART 解の存在範囲 f(p)f(g) <0ならpgの間に解 (交点)あり
解答
f(x)=ax2-(a+1)x-a-3とする。 ただし, a≠0
題意を満たすための条件は, 放物線y=f(x) が-1 <x<0,
1 <x<2の範囲でそれぞれx軸と1点で交わることである。
すなわち
ここで
f(-1)f(0)<0
f(1)f(2)<0
f(-1)=α(−1)-(a+1) (−1)-a-3=a-2,
f(0)=-a-3,
f(1)=α12-(a+1) ・1-a-3=-a-4,
f(2)=α・22-(a+1) ・2-a-3=a-5
f(-1)f(0) <0から
ゆえに
よって
(a-2)(-a-3)<0
(a+3)(a-2)>0
また,f(1)(2)< 0 から
a<-3, 2<a
......
①
2次方程式であるから、
(x2の係数) 0 に注意
注意指針のグラフからむ
るように,a>0 グラフ
に凸), a<0(グラブ
凸) いずれの場合も
F(-1)/(0) <0
f(1)(2)<
が、題意を満たす条件で
よって、a>0のとき
のときなどと場合分け
て進める必要はない。
ゆえに
よって
(-a-4)(a-5)<0
(a+4)(a-5)>0
a<-4, 5<a...
① ② の共通範囲を求めて
a<-4,5<a
これはα=0を満たす。
-4-3
2
5
