245 α = 0, k = 0 とする。 曲線 C:y = xkx と, 曲線 C上の点(α, a-ak) における接線lで
-αであることを示せ。
27
囲まれる部分の面積は
f(x)=x-kx とおくと f'(x) =3x-k
f' (a) =3d-kより, 接線の方程式は
y-(a-ak) = (3a-k)(x-a) すなわち
よって, 曲線と接線の共有点のx座標は
x³ — kx = (3a² — k) x — 2a³
k>0
y▲ y=f(x)|
y=(3d-k)x-2y=f(x) 上の点
0 a
-2a
<0
YA
(t, f (t)) における接線の
方程式は
y-f(t)=f'(t)(x-t)
「曲線C と直線 l は x = a
で接するからこの方程式
は x = αを重解にもつ。
lk > 0 の場合とん<0 の
場合で y=f(x) とx軸
の交点が異なる。
「図ではa>0 の場合の
みを表示してあるが,
a < 0 であっても求める
面積Sは変わらない。
x3-3a2x+2a3 = 0
(xa)(x+2a)=0
よって x=-2a, a
右のグラフより, 求める面積S は
S = √,„^{(x²³ — kx) — (3a² — k)x+2a³}dx
-2a
a
= L" (x² - 3a²x+2a³)dx
-2a
a
=(x-a)(x+2a)dx
=
=
=
-2a
a
24
a
-2a
(x-a)(x-a+3a)dx
{(x-a)+3a(x-a)}dx
= [ — — — ( x − a )² + a ( x − a ) ³] ₂
-27
-2a
-2a
y=f(x)
4
x
AR
-2a
S =
{(3a² — k)x−2a³
-(x³-kx)}dx
-2e
==
(x³-3a²x+2a³)dx
0
=(x-3a'x +2a)dx
-2a
