応用問題 2
D
複素数平面上に,A(a), B(B), C(y) からな
る図のような三角形 ABC がある. 辺BCの中
点をMとし,辺AB, AC をそれぞれ斜辺とす
る2つの直角二等辺三角形を三角形ABC の外
側に作り,それらの頂点をP, Q とする.この
とき
P
A
B
M
C
MP⊥MQ,
MP=MQ
であることを示せ.
精講
シンプルで美しい性質ですが,初等的な方法で証明するのは難しい
です.ところが, 複素数を用いると驚くほど鮮やかに解決します.
複素数の真骨頂をとくとお味わいください.
解答
P(p), Q(g), M(m) とする.
Mは辺BC の中点なので
m=
B+y
2
P
A(a)
1
1
√2
T
4
|||2
Q
① 1
T
AFはABを倍して回転したものなの
4
B(3)
M
C(y)
直角二等辺三角形
p-a=(B-a)x-
π
π
COS
+isin
4
=(B-a)x-
よって
√2/√2
=(B-a) (1-i)
1
p=a+ (B-a) (1-i)
=a+
2 (1-i)ẞ- |-|-(1-i) a
+++++α-08