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32-1
a2=1+1=4,
52-1
a=
2+1 =5,
4
(a - b)(a - b)
a₁ = 3+1
.= 6,......
4
よって, a=n+2･････ ① と推測される。
この式は,a≧bのときも, a≦bのときも0
以上になるから
この推測が正しいことを、数学的帰納法によっ
証明する
[1] n=1のとき
(k+2)3
085
ak+1+6k+1
a+b\k+1
=3であるから, ① は成り立つ。
3
12
2
は成り立つ。
ついて ① は
[1], [2] から, すべての自然数nについて①は
成り立つ。
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
[2] n=kのとき, ①が成り立つ、すなわち
a₁=k+2 2
と仮定する。
(+)
n=k+1のときを考えると②から
3-1 (+2)-1
a+1
k+1.
+1
k²+4k+3
+1=16
成り立つ
と仮定する。
考えると,
264 与えられた等式を ① とする。
[1] n=1のとき
(左辺) = 1+1=2, (右辺 =2.12
よって, ①は成り立つ。
[2] n=kのとき①が成り立つ, すなわち
(k+1)(k+2)(k+3)
･･･････(2k)
=2.1.3.5... (2k-1)
-T
......
n=k+1のとき, ①の左辺について考える
と,② から
(k+2)(k+3)(k+4)・
...] −(k+2)(k+3)(k +4). ...
{2(k+1)}
6
1g 2g.
(2)
5k-6
と仮定する。
ら
成り立つ。
これについ
･･2k(2k+1).2(k+1)
.2kx2(2k+1)
las
272
=2･1･3･5･･
(2k-1)×2(2k+1)
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
=2k+1.1・3・5······(2k-1){2(k+1) - 1}
わち
=(k+1)(k+2)(k+3)··
[1], [2] から, すべての自然数nについて①は成
り立つ。
上
10 Jei
+ E + A
+1
(k+1)(k+3)
+1
=k+3=(k+1)+2
よって,n+1のときにも①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数について①は
成り立つ。
したがって
a=n+2
266 すべての自然数nについて、次の事柄を示
せばよい。
(1+√2+(1-v2)は自然数である」
[1] n=1のとき
(1+√2)+(1-√√2)=2
n=2のとき
(1+√2)²+(1-√2)
=(3+2/2)+(3-2√2)=6
よって, n=1,2のとき①は成り立つ。
[2] n=k, k+1のとき,①が成り立つと仮
する。
n=k+2のときを考えると
