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例題]
aは実数の定数とする。3次方程式 x + (α2-11)x +2a²-140 ① が3つの実数解
a,B,y(a≦B≦y) をもつようなαの値の範囲を求めよ。 さらに, βy+β+y=0が成り
立つようなαの値を求めよ。
考え方
Q&Q 0 =E+x+熟者
①の左辺を因数分解すると,①はαの値に関係しない実数解を1つもつことがわかる。この解と
残りの2解の大小関係を調べると,α, β, yを明らかにすることができる。
解法のプロセス
① 3次方程式の解のうち, αの値に関係しない1つの実数解を求める。
②残りの2つの解が実数である条件を求める。
3 ①の解がα, B,γのどれであるかを特定し, β, yの条件を満たすαの値を求める。
解答
①は
(x+2)x2-2x+α2-7)=0
と変形できるから
f(x)=x²-2x+α2-7=(x-1)2+α²-8
とおくと、①の解は,x=-2とf(x) = 0………②の解である。よって,
①が3つの実数解をもつための条件は②が2つの実数解をもつ,すなわ
ち,y=f(x) のグラフがx軸と共有点をもつことであるから
「こ」がつくのはなぜ?
a²-8≤0
2√2 ≦a≦2√2 ... 答
......
また,y=f(x) のグラフの軸は直線x=1で,
f(-2) = α+1>0である。 ③のとき,図より,
y↑
|a²+1
②の2つの実数解は-2より大きいから、
01
α=-2であり,β, yは②の2解である。 よっ
て,解と係数の関係により
a2-8
β+y=2,βy=d-7
したがって,βy+β+y=0となるための条件は
(α2-7)+2=0
これと③より,βy+β+y=0が成り立つようなαの値は
a=±√5... 答
y= f(x)
BROCA FT
3次方程式①の左辺を因数
分解し, ①の解のうち, αの値に
関係しない1つの実数解を求める。
◆②残りの2つの解が実数であ
る条件を求める。 判別式を利用し
てもよい。
◆3の解-2がα, β, yの
どれであるかを特定し,β,yの
条件 βr +βty = 0 を満たす α
の値を求める。
2以外の2解を与える 2次方程
式 f(x) = 0 ②について
y=f(x) のグラフをかいて考え
ると, 軸がx>2の範囲にあり、
f(-2) >0であるから, ③ のとき,
y=f(x)のグラフとx軸の共有
点はx>2の範囲にある。 よっ
て,最も小さい実数解αは−2で
あることがわかる。
