(2)の(イ)について。 a2mの一般項が-m/m+1になるのがわかりません

次の無限級数の収束,発散を調べ,収束するときはその和を求めよ。 3 (1)(1-1/2)+(1/2-2/2)+(1/8-192) + ... (2) 3 +・ 1 (2)1 2 2 3 + 4 2 2 3 3 +・ 4 思考プロセス « ReAction 無限級数の収束 発散は,まず部分和 Sm を求めよ 例題 33 (1)(2)では第n項が異なる。 (1) (一) (1-1/2)+(1/2-2/2)+(1/8-1)+ a₁ 場合に分ける a2 3 (ア) nが奇数のとき 3 (2)1 1 1 + 3 4 2 2 2 2 + 3 3 3 ・+ 4 a3 ai a2 a3 as as a6 一致すれば収束, 一致しなければ発散 1 1 2 Sn=1- n→∞ 2 3 (イ) nが偶数のとき Sn=1-( )-( (ア)の利用 解 (1) 初項から第n項 (n≧2) までの和をSとすると =(1/2) 2 Sn Point S.-(1-++...+() n n n n =1-- n+1 n+1 よって lim Sn = lim = = 0 n→∞ n→∞ 1 n→∞n+1 したがって,この無限級数は収束し、 その和は 0 (2)初項から第n項までの和を S とすると (ア)n=2m-1 (mは正の整数)のとき 1 1 Sn=S2m-1=1- |- + 2 2 m-1 m- + 1 m m 2 第n項は, nが偶数 (2m) のときと奇数 (2m-1) の ときで異なることに注意 する。 n→∞のとき→∞ であるから limS2m-1=1 m→∞ (イ) n=2m のとき,第2項をam とすると Sn=S2m=S2m-1+azm m = 1+ m+. m+1 limS2m=0 m→∞ よって (ア)(イ)より,この無限級数は発散する。 (1) lim S2m-1≠lim Sm より, m-x m-0 {S} の極限は存在しない。 Point [無

場合分けの仕方がよく分かりません。

例題 133 曲線の通過領域[2]2つの考え方 思考プロセス D **** んが-1≦k≦0 の範囲を動くとき, 直線 l:y= (2k+1)x-k-kの通 過する領域を図示せよ。 ≪ReAction 曲線の通過領域は、任意定数が実数解をもつ条件を考えよ 例題 132 との違い … 定数に1≦k≦0 という範囲がある。 見方を変える -1≦k≦0 のとき,直線y=(2k+1)x-k-k が点(X, Y) を通る。 ⇒Y = (2k+1)X-k-kを満たす実数kが-1≦k≦0に存在する。 例題132 2次方程式k (2X-1)k+Y-X = 0 を満たす実数が-1に 存在する。 解 直線1点(X, Y) を通るとすると Y = (2k+1)X-k-k IA すなわち k-(2X-1)k+Y-X = 0 ...1 112 点 (X, Y) の集合(領域) を求めるために,XとY 調べの関係式を導く。 を満たす実数んが -1≦k≦0 に存在する。 f(k)=k-(2X-1)k+Y-X とし,んの2次方程式 ① の判別式をDとすると の点を通るよう D=(2X-1)^2-4(Y-X)=4X°-4Y + 1 (ア) 方程式 ① のすべての解が-1<< 0 の範囲に存在 するとき ずんか? 重解の場合も含む。 38 (D≧0 2X-1 -1< <0 2 f(-1) > 0 [f(0) > 0 入すると Y≤ X² + 4 すなわち1/21/1 Y>-X Y> X あり (イ) 方程式 ① の解が1<<0 の範囲に1つとん<-1, 0kの範囲に1つ存在するとき f(-1)f(0)<0 (X+Y)(-X+Y) < 0 「 XEV (Y> -X よって \x <x または [Y < -XX \Y > X (ウ) 方程式①が k = -1 または k = 0 を解にもつとき f(-1)f(0)=0 より (X+Y) (-X+Y) = 0 よって Y = -X または Y = X (ア)~(ウ)より, 求める領域は右の 図の斜線部分。 ただし、境界線を 含む。 y [y=x2+ 11 ReAction IA 例題 109 「解の存在範囲は、判別 式・軸の位置端点のㇼ 座標から考えよ」 ReAction IA 例題 111 「2数α, bの間の解は、 f(a) f(b) の符号を考え よ」を考 Ro Action 例題125 「不等式 AB 0 で表さ れた領域は、2つの連立 不等式に分けて考えよ ason

【2】の条件がよくわからないです あとX>0よりT>1のところを詳しく教えて欲しいです

t=2 1対1 x 題 118 0x 162 国188 ★★★★ についての方程式 4+ (a+1)2 +1 + α+7=0 が異なる2つの正解を もつような定数αの値の範囲を求めよ。 ReAction 文字を置き換えたときは、その文字のとり得る値の範囲を考えよ 例題 76 4'+ (a+1)2+1+α+7=0が 異なる2つの正の解をもつ t = 2* とおく ← 2+2(a+1)+α+ 7 = 0 が どのような解をもつか? 対応を考える 1つのtの値に1つのxの値が対応 例題187 との違い... f(t) =αの形にすると, 式が複雑になることに注意。 4*+ ( a +1)2* +1 + α+ 7 = 0 … ① とおく。 2 = t とおくと, x > 0 より t> 1 であり、 ① は f + 2(a + 1)t + a +7=0 ここで, t = 2x を満たすx は, t> 1 であるtの値1つに 対してx>0であるxの値1つが存在する。 よって, xの方程式①が異なる2つの正の解をもつのは, の2次方程式 ②が1より大きい異なる2つの解をもつ ときである。 f(t) = f+2(a+1)t+α+7 とおくと, y=f(t)のグラフがt軸とt>1の範 囲で2点で交わるのは,次の [1]~[3] を満たすときである。 y\ y=f(t)| -(a+1) 01/ t 固 固 [1] f(t) = 0 の判別式をDとすると 今は別の法が D> 0 D = (a+1)-(a+7) = α+a-6 4 +α-6>0より (a+3)(a-2) > 0 E 個固 よって a <-3,2<a ... ③ [2] y=f(t) の軸がt>1の部分にある。 y=f(t)の軸は t = -(a+1) であるから よって -(a+1)> 1 a<-2 [3] f (1) 0 であるから 10 よって a> - 3 底を2にそろえ, 2 = t とおく。 t=2x 章 11 O x 2次方程式の解と係数の 関係 α+β = -2(a+1) aβ= a +7 を利用して 判別式 D > 0 (-1)+(β-1) > 0 (α-1) (β-1) > 0 からαの値の範囲を求め てもよい。 ②を t2+2t+7=a(-2t-1) と分離して,y=f+ 2t + 7 とy=α(2t-1) が .. ④ ( t>1で異なる2つの共 有点をもつようなαの値 の範囲を求めてもよい。 f (1) = 3a +10 > 0 ･･⑤ 指数関数 練習 ③~⑤より、求めるαの値の範囲は 10 <a<-3 3 10 -2 3-3 a 188 x についての方程式 4-α・2x+1+α+2=0が次の条件を満たす解をもつよ うな定数αの値の範囲を求めよ。 (1)異なる2つの実数解 (2) 異なる2つの正の解 776 問題188 33

(2)について質問です。 arg(z-α/-α)=±π/2またはz=αのとき z-α/-αは純虚数または0と書いてありますが、純虚数になるのは分かったんですが、0になるというのが分かりません。

例題 148 直線の方程式/18× (1) 異なる2点A(a),B(B) を通る直線上の点をP(z) とするとき, (a-Biz-(a-B)=aBaB が成り立つことを示せ。 平 (2)中心が原点,半径がの円上の点A(α) における接線上の点をP(z) と =2r2 が成り立つことを示せ。 思考プロセス するとき, az+az = 条件の言い換え (1) 直線AB 上の点P (1) (2) A(a) A(a) B(B) 3点 A, B, Pが一直線上 P(2) P(z) (2) 接線上の点P OAL AP または 点Pが点Aに一致 « ReAction 3点A(a), B(B), C(y) のつくる角は,∠CAB=arg 解 (1) 3点A, B, Pが一直線上にあるから B-a (ターα)を用いよ 例題146 = 例題 147 2-B arg a- -β = 0, π または z = β YA A(a) 例題 2- 118 よって, は実数であるから B (B)] P(z) O x a-β 100 wが実数 ⇔w=w 2-B 2-B z - B = より a-B a- -B a -B a- Z B B (a-B) (z-B)=(a-B)(z-β) したがって 147 (a-B)z-(a-B) z = a B-a B 例題 (2) 点Pは接線上の点であるから S= |AO! OAAP または 点Pが点Aに一致する によって arg 2-a 0-a =± または z = a 2 A(注)を中 2-a 例題 ゆえに 118 は純虚数または 0 であるから -α 2-a z-a 2-a より 2-a -α -a a a a(za) = -α (za) az+αz=2αα 点A(a)は,円上の点であるか ら, OA = |α|=r より r A(a) P(z) OA⊥AP だけでは,点 Pが点Aに一致するとき を含めることができない。 虚数 w=w, w 0 wが純虚数または 0 ⇔w=-w となる。 であるから aa=2 したがって az+αz=2m2 140 x =

(1)の解答について質問です！ 解答にはz=βとありますがz=αは書かなくていいんですか？

題 148 直線の方程式 (1) 異なる2点A(a), B(β) を通る直線上の点をP(z) とするとき, (a-B)z-(a-B)=aβ-αが成り立つことを示せ。 (2)中心が原点,半径がの円上の点A(α) における接線上の点をP(z) と 2r2 が成り立つことを示せ。 すると , aztaz = 思考のプロセス 条件の言い換え (1) 直線AB 上の点P (1) (2) A(a) A(a) B(β) 3点 A, B, Pが一直線上 P(2) P(z) (2) 接線上の点P OAL AP または 点Pが点Aに一致 (B-α) « ReAction 3点A(a),B(B), C(y) のつくる角は,∠CAB=arg を用いよ 例題 146 r-a, 解 (1) 3点A, B, P が一直線上にあるから SA (d) B(B) YA(a). 列題 47 z-β) arg = 0, または z =β a-B Z 例題 よって, は実数であるから 0 P(z) x w実数 ■18 a- -β ⇔w = w 2-B 2- -β 2- B 2-B = より = a-B a-β a-β a-β sis (a-B) (z-B)=(a-B)(z-β) (a)84 したがって (a-B)z-(a-B) z = a B-a B 147 例題 (2) 点Pは接線上の点であるから OAAP または 点Pが点Aに一致する よって arg z-a 0-a π C 2 =± または z = α 90 OA⊥AP だけでは,点 Pが点Aに一致するとき を含めることができない。 z-a 例題 118 は純虚数または0であるから -α wが純虚数 SBA z-a 2-a z-a = より 2-a -a - α a a(za)=-a (z-a) az+az =2aa A(a) P(z) w = w, w = 0 wが純虚数または 0 ⇔w=-w となる。 であるから r 点A(α) は,円上の点であるか ら,OA=|α|=r より aa=2 したがって az+αz= 272 0 r x amより €1400 a α = r²

(2)が分かりません😭 |z-1|は(1)で求めた領域内の点zと点1の距離を表す。という部分よく分かりません。

ID 例題 142 絶対値,偏角の最大・最小 不等式 |z-2-2i√2 を満たす複素数 z について (1) 複素数平面上の点P(z) の存在範囲を図示せよ。 (2)|z-1の最大値、最小値を求めよ。 (3) zの偏角を0(0≦02) とするとき, 0 の最大値を求めよ。 « ReAction 絶対値|z-α| は, 点と点αの距離とみよ 例題138 思考プロセス (1) 不等式 図で考える 点と点 ]の距離) 2 (2)yA P (3)y P (2)|z-1の最大・最小 点と点1の距離の最大・最小 (3)2の偏角の最大 x 一 OP と実軸の正の向きとのなす角の最大 y 解 (1) z-2-√2 より 2+√2 z-(2+2i)|≦√2 2 よって、点P(z)の存在範囲は右 の図の斜線部分。ただし, 境界線 を含む。 O 2 x 点 2+2i からの距離が √2 以下となる点である から 中心が点A(2+2i), 半径が√2のCの周お よび内部となる。 (2) 中心が点A(2+2i), 半径が√2の円をCとする。 |z-1は, (1) で求めた領域内の y 点と点の距離を表す。 Cの半径は2であり,点1と 点A(2+2i) の距離は √2 √5 |1+2i| = √1°+2° |(2+2i)-1| = |1+2i| = √5 O 1 x √5 よって, z-1| は 最大値5+√2 最小値/5/2 (3)の偏角0 が最大となるのは y 直線 OP が右の図のように,円C に接するときである。 このとき AP:OA= √2:2√2 = 1:2 26 CA π 2√2 ∠OPA= π より 2 ∠AOP= π 0 π x 6 4 また、直線 OA と実軸の正の部分のなす角は π よって, 0 は 最大値 4 πC π 5 + 4 TC 6 12 を通る直線と円 C の交点 になるときである。 OA= =√2+2=2√2 △POAは直角三角形。 点Aを表す複素数は 2+2źであり π arg(2+2i) 4 最大・最小となるのは,点 zが点1と円Cの中心A 練習 142 不等式 +1

(1)が分かりません。 Sを求めるために色々足したり引いたりしているのは分かるんですけど、解説の答えでどうしてSが求まるのかが分かりません。

464 値を舌の関数 例題] 266 面積の最大・最小 〔3〕･･･絶対値 思考プロセス ★★★★ 曲線y=|x(x-2)| と直線 y=kx (0<<2) で囲まれた図形の面積を Sとする。このとき, 次の問に答えよ。 (1)Sをんで表せ (3)Sの最小値を求めよ。 « ReAction 放物線と直線で囲む面積は, 見方を変える (2)Sを最小にするkの値を求めよ。 S" (x-a) (x-B)dx = — — (B-a) を用いよ 例題 255 例題 249 A +++ 単純に分割すると, ← a α 2 2β 計算が大変 a2 β x 公式で求められる であ 使用い を足したり引いたりすることで表すことができないか? (1) 曲線 y=|x(x-2)|は右の図 のようになる。 YA y=-x(x-2)=-x+2xについ て y' = -2x+2 150821201 0≦x<2のとき x = 0 を代入すると y'=2 よって, 02 のとき, 曲線 範囲にそれぞれ共有点 A,Bをもつ。 12 x y=|x(x-2)| と直線 y=kx は, 0<x<2, 2 <xの 共有点Aのx座標は x2+2x=kx B 直線 y=kx の傾きであ るんの値の範囲が 0k<2であり,x=0 における接線の傾きが2 であるから, 曲線 y=x(x-2)|と直線 Dy=kxの位置関係が分 かる。 しん x{x-(2-k)}=0 0<x<2より x = 2-k 2-k/2x 共有点Bのx座標は 2+k x-2x=kx x{x-(2+k)}=0 x=2+k 2<xより よって 2+k S=${kx-(x²-2x)}-2(-x+2x)dx 2+k - -- 2-k +2 {(x²+2x)-kx}dx x{x-(2+k)}dx+2 x (x-2)dx 2-k -2Jx{x-(2-k)}dx S = 0 -2X +2x O 例 23

〔2〕について、印をつけているところからわかりません

9:43 • 4G https://www.lentrance.com/reader/sp_vi... D 頻出 164 三角関数の最大・最小 [4] 合成の利用 ★★☆☆ (1) 関数 y= sind√3 cost (0≦0≦z) の最大値と最小値, およびそ のときの0の値を求めよ。 (2)関数 y=4sin0 + 3cos0 (0≧≦)の最大値と最小値を求めよ。 « ReAction asin0+bcos0は, rsin (0+α) の形に合成せよ 163 サインとコサインを含む式 (1) y=sin0-√3 cos 合成 ↓ y = 2sin(0-3) サインのみの式 05 0 5x S Is (0) 0 ≤2 2 sin (0-3) ≤0 図で考える (2) 合成すると,αを具体的に求められない。 →αのままにして, sinα, cosa の値から, αのおよその目安をつけておく。 = y-sin-√3 cos-2sin(0) 0505-50-135. 2 3 よって 2 sin(0-3) ≤1 0- したがって -√352sin(-)52 01=1 すなわち のとき最大値 2 = π すなわち 0 0 のとき 最小値3 162 (2)y 4sin0+3cos0=5sin (0+α) とおく。 4 3 ただし, αは cosa= sina ・① を満たす角。 5 より usotus conta ① より << であり, sine <sin (+α) である から sin (0+α) ≦1 5 √3 3章 10 加法定理 *sinessin (0+α) ≦1 3≦5sin(+α) 5 より, yは 最大値 5, 最小値3 解答 164 (1) 関数 y= sind-cos (0≦≦)の最大値と最小値,およびそのときの 0 の値を求めよ。 (2) 関数 y=5sin0 +12cos (0≦0≦x) の最大値と最小値を求めよ。 × 293 p.311 問題 164 MENU ON 完了

こういう問題で、f(x)というものをよく見かけるのですが、これはどのような場合に用いるのでしょうか？解答をかくときに毎回意味が分からなかったので、教えてもらえると嬉しいです。

頻出 ★★☆☆ こを求めよ。 y=ax2+bx+6 105 絶対不等式 [1] 不等式の解の存在 ★★☆☆ (1) すべての実数xについて, 2次不等式+2kx-3k+4>0が成り立 つような定数kの値の範囲を求めよ。 Acid (2) 2次不等式 x-kx+k+3<0 を満たす実数x が存在するような定 数kの値の範囲を求めよ。 ReAction 不等式は,グラフと x 軸の位置関係を考えよ 例題98 3 x 4+ =ax2+bx+6 このプロセス 「条件の言い換え (1) すべてのxについて (1) (2) y= ⇒y= のグラフがx軸より上側にある。 とx軸の共有点は [ 3 (2)y= のグラフがx軸より下側にある 部分が存在する。 + a B 9 y= とx軸の共有点は 2次関数と2次不等式 y=f(x) のグラフは下に 凸の放物線であり、 次の ようになればよい。 V y=f(x) D<0 のグラフ ■, x軸と (1) f(x)=x2+2kx-3k +4 とおく。 - 0)で交 例題 93 すべての実数x について f(x)>0 が成り立つのは, y=f(x)のグラフがx軸と共有点をもたないときである。 よって, f(x) = 0 の判別式をDとすると D< 0 を満たす D ゆえに 1=k-(-3k+4)=k+3k-4 4 グラフ = (k+4)(k-1)0 軸と したがって -4<k<1 0) で交 (2) f(x)=x-kx+k+3 とおく。 f(x) <0 を満たす実数x が存在するのは,y=f(x)の 例題 グラフがx軸と異なる2点で交わるときである。 y=f(x) のグラフは下に 凸の放物線であり、 次の ようになればよい。 \y=f(x) 93 よって,f(x) = 0 の判別式をDとすると D> 0 たす ゆえに D=(-k)2-4(k+3)=k-4k-12 =(k+2)(k-6) > 0 したがって k<-2,6<h B) Point... 絶対不等式 A x D>0 例題 105 (1) では,与えられた不等式 x2+2kx-3k+40 から, 機械的に D> 0 とし てしまう誤りが多い。 3) 必ず「不等式の条件」 を 「グラフの条件」 に言い換えてから, 判別式の条件を考えるよ うにする。 105(1) すべての実数xについて, 2次不等式 x+kx+2k+50 が成り立つよ うな定数kの値の範囲を求めよ。 (2) 2次不等式 2x²-3kx+4k+2 <0 を満たす実数x が存在するような定数 んの値の範囲を求めよ。 191 p.220 問題105

この問題の(2)で水色の〰️を引いた部分がわかりません。なぜこの範囲になるのか、教えてもらえると嬉しいです。できればその下の範囲も教えてください。

例題 67 定義域によって式が異なる関数のグラフ ★★★☆ 関数 f(x) = f2x (0≦x<1) 4-2x (1≦x≦2) について,次の関数のグラフをかけ。 ちか (1) y=f(x) (2)y=f(f(x)) 143 (2) y = f(f(x)) « ReAction 関数の値f (a) は, f(x) の式のすべてのxにαを代入せよ 例題 (2)対応を考える α が関数 f(x) になっても、同様に考える。 [2f(x) f(f(x)) = (0 ≤ f(x) < 1) (4-2f(x) (1 ≤ f(x) ≤ 2) - xの値の範囲に直す 1) y=f(x) のグラフは右の図。 YA ━ > (1) のグラフの利用