(2)です。 この問題を解く時、何を考えたらこの部分積分をしようと思いつきますか？ 自分でどうにか無理やりこじつけるとしたら↓ ー－－－－－－－ 右辺がI(m,n-2)だから cos^nX=cosX･cos^(n-1)Xにわけて cos^(n-1)Xの方を微分したらco... 続きを読む

重要 例題 237 定積分と漸化式 (2) 395 ①の m, 次の等式を証明せよ。 ただし, sinx=cosx=1である。 0 を0以上の整数として, Im,n=sin "xcosxdx とする。(笑) (1) ((1)(5) (1) Im,n=In,m (2) Im.n= m+n n-1 Im.n-2 (n≥2) p.390 基本事項 ②, 重要 218,236 指針▷ (1) sin( 2 π π -x=cOS X, COS 2 解答 x= x=sinx [sin と cos が入れ替わる]に注目し, =n-tとおき換えて計算し、後で変数を xに直す。さす (I) (C) (2) sin”xcosx=(sin"xcosx) cos"-1として部分積分法を用いる。 更に, sinm+2xcos"-2x= sin" xcos”-2x-sin" x cos”x から 同形出現。 π (1)x= t とおくと 2 dx=-dt xtの対応は右のようになる。 π x 0 2 i よって Im.n=S 2 sin” xcos” xdx ||2 → 0 7 34 3定積分の置 2 sin”xcosxdx=In,m (5) sin' X .m+1 cosxdx Up (2) n≧2のとき =S's sin" (cos (1)(-1)dt=S Ssinxcosxdx=f(sin" xcosx)cos-xdx= =SC Sinm+1 n-1 x m+1 = fsin" ①,②から Ssinxcosxdx= Sin"+1xcos"-1x X COS' m+1 sinm+1xcosn-1x m+1 n-1 C + m+1. また Ssinm+2xcos"-2xdx=fsin" xcos"-2x(1-cos"x)dx sin" xcos"-2xdx-fsin" xcos" xdx sin x cos"-2x dx -S *sinm+1 x ・(n-1)cos” 2x (-sinx)dx + S sinmaxcosxx. ① (2) + n_1sinm mtn m+n () ゆえに So sin m+1 sin"xcosxdx= sin" n-1 x COS x n-1 C + m m+n m+n Jo So sin xcosxdx したがって n-1 Im,n= -Im,n-2 m+n

2531の問題において、なぜこの変形ができるのでしょうか。

ZXK -TT Cos=sin= 13 複素数平面 基本 22) るのはどんな場合か。ただし20 Pi (21) - zo) 180° 解答 (1) 21+222=122+12 +2r20001-4 であるから(問題2529) 121221=VP12+122+2172cos(01-02) =V (2)|21 + 22|=2+122+2200(01-02) VT12+2222 (-1 cos(01-02)≤1) =|72|+|2|=|21|+|22| (3)上の不等式で等号が成り立つのは または 20で cos(01-02)=1のとき よって, 等号は 10 または 22=0または と 01) 研究 複素数平面上で 21, 22および2+を 点をそれぞれP1, P2 およびPとする。 原点O と P1, P2が一直線上にあるとき, PA じ直線上にあって, OP1, OP2 が同じ向きな で 01-02=360°xn(n=0, 1, 2, ...) のとき、 (3x+ya+aẞ) 11 Br 1 + + Y a a (a++) (By+a+a)(a+3+2) (7)(1/+/+/1/1) a =(a+B+2)(B)+ya+αβ) R2 R2 By+ya+aß k=a+B+71 (By+ra+aβ)(By+ra+aβ) とおくと20 ? (a+B+)(a+B+) (y+ya+aß) (7+7+āß) (a+B+1)(a+B+7) = R² 与式==R ド・モアブルの定理 § 1. 複素数平面 よって、nを負の整数とし, n=-mとおけば 803 (cos0+isin0)"={(cos0+isin0)''}" ={cos(-0)+isin(-0)}" mは正の整数であるから {cos(-0)+isin(-0)}'' = cos(-me)+isin(-m0) ∴. (cos0+isin0)"=cosn0+isin no 2533. 〈ド・モアブルの定理〉 基本 nは正の整数で,=1であるとき 0 がどのような実数値であっても (cosO+isin0)" =cosno+isinne が成り立つことを,数学的帰納法によって 証明せよ。 -2532. 〈ド・モアブルの定理〉 基本 解答] n は整数であるから OP=OP1+OP2 ..|21+22|=|21|+|22| OP1, OP2 が反対向きならば (1) (cosa+isina)(cosβ+isinβ) 次の等式を証明せよ。ただし,i=V-1 とする。 (cos0+isin0)" =cosnl+isinn0 において, n=1のとき x(cosy+isiny) OP=OP1 ~ OP2 ...|21 +22|=|21|~|22| =cos(a+β+y)+isin(a+β+y) O. P1, P2 が一直線上にないときPOP を2隣辺とする平行四辺形の頂点で (2) nが正の整数のとき OP1 ~ PiPOP < OP1 +P,P 2 P.POP2 であるから sin 02 ) |21|~|32|<|21 +22| <|21|+|22| P1 3 1) ① ② ③ をまとめて |21|~|22|≦|21+2 | =1+22], |31|+|22| -011 る る。 基本 この結果を三角不等式ということがある。 2531. 〈複素数の絶対値> (cos a + isina) (cos a2+ i sin a2) ...(cos an+isinan) (cos0+isin0)=cosno+isinno (1) (cosa +isina) (cosβ+isinβ) = (cos a cosẞ-sina sin ẞ) + i(sinacos β + cosasin β) = cos(a + β)+isin(a+β) :: {cos(a +β) +isin(a+β)}(cosy+isiny) = cos{(a +B)+r}+isin{(a +B)+y} =cos(a+β+2)+isin (a +β+7) (2) (1) と同様にして ①の左辺 = cose+isin0 ①の右辺 = cos0+isin0 よって、この場合, 等式① は成り立つ。 n=kの場合、①の成立を仮定すれば (cos0+isin0) = cosk0+isink0 (cosQ+isin0)k+1 (cos0+isin0) (cosQ+isin0) = (cos0+isin0) × (cosk0 +isink0 ) = (cosocosko-sin Asink0) +i (sin Acosk0 + cos0sink0 ) =cos(k+1)0+isin(k + 1)0 ......2 ②はn=k+1の場合も等式①の成り立つことを 示している。 よって、数学的帰納法により①はnが どんな正の整数でも成り立つ。 2534. 〈n 乗の計算〉 基本 複素数平面上において、原点を中心とす る半径Rの円周上の3点を複素数o.d で表すとき By+ya+aß la+B+7l の値を求めよ。 ただし, a + β+7 キ によって する。 成立す [解答 点α, B, は点Oを中心 半径Rの円上 にあるから a=|a|=R2 同様にβ・万=・=R2 = cos(a1+a2++an) isin(a1+a2+・・・+αn) ここでa=a2=...=an=0とおけば (cos0+isine)" =cosn+isinno 研究ド・モアブルの定理はn が 0 または負の整 数のときも成り立つ。 =0のとき明らか。 n=1のとき (cos +isin 0) cos 0-isin 0 (coso+isino) (coso-isin0 ) = cos(-0) + isin(-0) 次の式の値を求めよ。 (cos 15°+isin 15°) 2535 〈n 乗の計算〉 解答 与式 = cos(15°×6)+isin(15°×6)=i 基本 √3+i=r(cos0+isin0) に適するr, 0 を求め、それによって(√3+i)の値を計 算せよ。ただし,r> 0 とする。 解答 V3 +i=rcos0+irsin0 から rcos0v3rsin0=1 2式を平方して辺々を加えると

235と異なり、236はなぜ半径を掛けてるのですか？ 予習なのでわかりやすく教えていただけると幸いです。

3 ド・モアブルの定理 ドモアブルの定理...... 整数nに対して (coso+isin0)" = cosn0+isinnd αのn 乗根･･････ 複素数 αに対し, 方程式 2" = α を満たす複素数 z 234 次の計算をせよ。 π π 4 (1)* (cos 1/4 + i sin 177 ) * 4 Training トレーニング π (2)(cos 70 10 -5 π +isin 10 235 次の計算をせよ。 小 (1)* (+-) 236 次の計算をせよ。 (1) (-1+i)7 (3) (-3-√31)³ 237 次の方程式を解け。 (1) 2=i (3)* z4 = -8(1+√3i) 4 1 3 (2) i 2 2 (2)* (1−√3i)* (2) 26 = 27 (4)*2=1

手書きの赤文字であってますか？

(2) よって、n=12k ゆえに、求める最小の自然数にした。 11 k=1のときで z+1=2 n = 12 LL ↓ Z20 + Z20 (z+/)20_ -20 20 20 これは実数のみ?! 210-20 複素数だから? 1024-20 =1004

この問題のエオについて質問です。なぜ cosもsinも0になるのでしょうか？上で表記されているから、というのは分かるのですがなぜ1🟰...となるか分かりません。。 zの0は1という所から来てるのでしょうか、？ 解説お願いします🙏

素数平面 22 複素数のn nn 例題 2 i を虚数単位とする。 と表すことができる。 両辺の絶対値と偏角を比較すると, +isin の右辺も極形式で表すと、③は,ア (cos イ 0+isin ウ 0) =cosエ (1) 方程式 = 1...... Aを解く。 zの極形式をz=r(cos0+isin0) とし, 方程式 r= カ0= kπ キ (k は整数) ...... (*) π コ を得る。 0≦02の範囲で (*) の0の値は, 0=ク π、 ケ サ 以上により, 方程式の解は、シ i,スセ -i である。 (2)方程式 28i®を解く。 zの極形式をz=r(cos0+isin0) とし、方程式®の 右辺も極形式で表すと,Bは, ツ , (cos夕 0+isinチ8)=ツ (cos +isin- π π テ ト と表すことができる。 両辺の絶対値と偏角を比較すると, (k+1) r=ナ 0 = (k は整数)...... (**) ヌ を得る。 0≦02の範囲で (**) の0の値は, TC 0 = π, ネ ハ ヒ フ ヒ ただし < π ハ 以上により, 方程式の解は, < +i. ホ +i, マミiである。 解答解説 (1)zの極形式をz=r(cos0+isin0) とすると, ドモアブルの定理により, z4=r* (cos40+isin40)A 方程式Aの右辺を極形式で表すと, 1=cos0+isin 0 A B よって, 方程式 A は次のようになる。 r4 (cos40+isin40)=cos0+isin0 A ......ア, イ ウ エ オ (答) ここで、両辺の絶対値と偏角を比較すると, =1,40=0+2k(kは整数) C 数学6 THE A 鉄則 (複素数)” は,極形式で表 してド・モアブルの定理 2” を考えるときは,まずz = a+bi を 極形式 (cos0+isin0 ) で表す。 本間は, 方程式A,Bの両辺を ともに極形式で表すことがポイントだ そのあと,ド・モアブルの定理を使う。 ドモアブルの定理 z=cos0+isin のとき z"=cosn0+isinn は整数

最後の式変形がどのようにしてなるか分かりません 教えて頂きたいです

0000 演習 例題 121 極値をとる値に関する無限級数の和 00000 | 関数f(x) =exsinx (x>0)について, f(x) が極大値をとるxの値を小さい方 から順に X1,X2, 80 また, を求めよ。 f(x) とすると,数列{f(x)} は等比数列であることを示せ。 n=1 基本112 のにおけ と直線lnの交点の を求めよ。 B 極大値をとるxの値は,次のことを利用して求めるとよい。 指針 f' (a)=0,f" (a)<0⇒f(a)は極大値(p.177 基本事項因) つまり、f'(x)=0の解を求め, その解のうちf" (x) < 0 を満たすものを とする。 また,無限等比級数 2, ay"-1(a≠0)は|r| <1のとき収束し、和は n=1 f(x)=-e*sinx+e*cosx=-e*(sinx−cosx) =-√2e-*sin(x-4) y=e-s f”(x)=e*(sinx−cosx)—e*(cosx+sinx) 0 tin 数の値 (特に, COS m) 式を連立して求める。 を求める際は、 解答 すい。 f'(x)=0 とすると =-2excosx sin(x)=0 200 (*) x>0であるから x= =+kл (k=0, 1, ....) 4 (*) sinn 以下では, n は自然数とする。 COSn=- y=-ex 1-2 27 3π 4π 207 (*)からx=kπ (k は整数) 4 章 G 関連発展問題 自然 k=2n-1のとき cos (+) +1.2(√x-1) < 0. (+) A k=2(n-1) のとき COS 4 cos(+kx)>0 0. あるから )+4√na xn= =4+2(n-1) 7±2√n+1 √n) ゆえに,k=2(n-1) のとき極大値をとるから このとき ya (2-1)1 (+x) <0-1 +kл 0=(0)3 f(x)=e-14+2(n-1)*} sin{4/+2(n-1)}=1/2ef(e-20-1 0 π 4 -10 1 x ++ -11 +2(-1) 2 よって、(f(x))は初項 inet 公比 e-2の等比数列で e4, n=1 f(x)は収束し,その和は ・分子に(vn+1 + 掛ける。 の交点のx座 y=f(x)の接 Σf(x)=√1-e=√2 (e-1) 練習 関数f(x)=e-xcosx (x>0) について,f(x)が極小値をとるxの値を小さい方か @121 ら順に X1,X2, n= ...... f(x) を求めよ。 とすると、数列{f(x)} は等比数列であることを示せ。 また, ある。公比 e-2" は 0<e-2" <1であるから,無限等比級数 ◄an-ar"-1 ⇒ {an}は初項 α, 公 比の等比数列。 1-e-2π

cosnπを（-1）^n+1に変形しなければいけないのは何故ですか？ cosnπもnの式なのでわざわざ変形する必要はないと思いました。

演習 例題 200 曲線の接線に関する極限 00000 点(+0)における 関数f(x)=x'sin(x>0) について,nを自然数とし,点 曲線 y=f(x) の接線を も とする。 放物線y=(-1)^x2 と直線lの交点の香 標を (a, b) (ただし, α>0) とするとき (1) am を n を用いて表せ。 (2) 極限値 limn|bm | を求めよ。 81 to 基本163

201教えてください🙇‍♀️

1 201複素数zが,z+-=2cos0 を満たすとき,次の問いに答えよ。 ☑ Z (1) zを0を用いて表せ。 (2)nが自然数のとき, "+1=2cosndであることを示せ。 2"

(2) マーカーの部分の意味がわかりません。 解説をお願いします🙇‍♀️

基本 例題 105 数列の極限 (4) (1) 極限 lim COS Nπ を求めよ。 81U n 1 (2) an= + n2+1 n2+2 ++ 1 … はさみうちの原理10000 *** 183 4章 p.174 基本事項] 14 n²+n とするとき, lima を求めよ。 n18 指針 極限が直接求めにくい場合は, はさみうちの原理 の利用を考える。 liman=limbn=α はさみうちの原理 すべてのnについて an≧m≦b, のとき) 818 818 ならば limcn=α 118 ~ (不等式の等号がなくても成立) COS Nд (1) an≤ 1 n (2) n²+k n' bn の形を作る。 それには, かくれた条件-1≦cos0≦1 を利用。 A (k=1, 2,...,n)に着目して, am の各項を 12/27 におき換えてみる。 CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち n² 8508 (1) 数列の極限 1 COS Nπ 1 ・ 【各辺をnで割る。 n n n lim 常にCOS Nπ =0 はさみうちの原理。 n→∞ n -1≦cosnz≦1であるから 解答 (1) ! lim (2) 8012 1 1 1/2)=0,lim = 0 であるから n 1 n²+k an = n 1 non (k=1, 2,...,n) であるから +: .... + n²+n 1 n= 2 n° n 1 ・+ = 1 n 2 lim- = 0 であるから n→∞n liman=0 n→∞ <n²+k>n²> 0 2 各項を12でおき換える。 10≦liman≦0 12100 <=0 1 + -1 n2+2 1 + 2 2 n n 1 よって 0<an< n

数列の問題なのですが（1）で帰納的に整数係数の〰︎︎とありますがどういうことでしょうか？そうなると証明されていないのに勝手に利用して良いのですか...？教えて頂きたいです。

総合 nを正の整数とし,次の条件(*)を満たすxについての次式Pn(x) を考える。 4 (*) すべての実数0に対して cosno=Pn(cos0 ) (1) n≧2のとき,Pn+1(x) をPn(x)とP-1(x) を用いて表せ。 (2) Ph(x)のx”の係数を求めよ。 (3)coso= 1 10 とする。 101000 cos” (5009) を10進法で表したときの, 一の位の数字を求めよ。 -18-48) [早稲田大 →本冊 数学B 例題 55 (1) cos(n+1)0=cos(n0+0)=cosnocoso-sinnQsin O (←加法定理 cos(n-1)0=cos(no-0)=cosnocos0+ sinn0sin O よって cos (n+1)0+cos (n-1)0=2cos nocoso 1 (1+税)- ゆえに cos(n+1)0=2cosocosn0-cos(n-1)0 - よって Pn+1(x)=2xPn(x)-P-1(x) (n≧2) ...... ① (2) Pi (x)=x cos 20=2cos20-1 から a1=1, a2=2+ また, ① において,最高次の項の係数を比較すると an+1=2an (n≧2) これらと① から, Pn(x)は帰納的に整数係数の次式といえる。 Pn(x) の最高次 x ” の係数を an とすると P2(x)=2x2-1) + P2(x):2次式, ゆえに, 数列{an} は初項 1,公比2の等比数列であるから an=1•2"-1=2n-1 30G ←P+1 (cos0) =2cosQPn(cose) -PR-1(cos) n- ←P, (x):1次式, P2(x):2次式から, P3(x)は3次式である。 P3(x) : 3次式から, P4 (x)は4次式である。 == (S) 100