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重要 例題 120 素数の問題 (余りによる整数の分類の利用)
=
nは自然数とする。 n。n+2. n+4がすべて素数であるのはn=3
あることを示せ。
[早稲田大, 東京女子大]
n+2 4
n+4
基本117)
2 3 5 7 11 13
71
⑤79 13 15
6 7 9 11 15 17
inn+2,+4の中にnが含まれている。
指針▷ nが素数でない場合は条件を満たさない。
nが素数の場合について, n+2, n+4の値を調べてみ
ると右の表のようになり, n, n +2, n+4の中には必ず
3の倍数が含まれるらしいということがわかる。
よって、n=2,3のときは直接値を代入して条件を満た
すかどうかを調べ、nが5以上の素数のときは,
○素数,
3の倍数
n=3k+1,3k+2の場合に分けて, 条件を満たさない、すなわちn+2,+4のどちらかが
素数にならないことを示すという方針で進める。
CHART 整数の問題 いくつかの値で 小手調べ (実験)
解答
nが素数でない場合は, 明らかに条件を満たさない。
nが素数の場合について
[1] n=2のとき, n+2=4 となり,条件を満たさない。
[2] n=3のとき, n+2=5, n+4=7で、条件を満たす。
[3]nが5以上の素数のとき, nは3k+1, 3k+2 (kは自然
数) のいずれかで表され
00000
3の場合だけで
(ii) n=3k+2のとき
n+4=3k+6=3(k+2)
+2は3以上の自然数であるから, n +4 は素数にならず,
条件を満たさない。
以上から,条件を満たすのはn=3の場合だけである。
(i) n=3k+1のとき
n+2=3k+3=3(k+1)
<
+1は2以上の自然数であるから, n+2 は素数にならず,
条件を満たさない。
規則性の発見
3数のうち, nが素数でな
<n+4 (6) も素数でない。
n=3k (n≧5) は素数にな
らないから,この場合は考
えない。
の断りは重要。 k+1=1
とすると, n+2=3 ( 素数 )
となるため,このように書
いている [(ii) でも同様] 。
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検討 双子素数と三つ子素数・
nは自然数とする。 n, n+2 がともに素数であるとき,これを 双子素数という。また,
(n,n+2,+6) または (n, n+4, n+6) の形をした素数の組を三つ子素数という。なお,
上の例題から, n, n+2, n+4の形の素数は (3,5,7) しかないことがわかるが,これを三つ子
素数とはいわない。 双子素数や三つ子素数は無数にあることが予想されているが, 現在 ( 2018
年), そのことは証明されていない。
