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題 5 (1)
101100
考えを利用 (1) 次の数の下位5桁を求めよ。
(イ)99100
(2) 2951900で割ったときの余りを求めよ。
[類 お茶の水大]
基本1
場合の数を、次の指針 (1) これらをまともに計算することは手計算ではほとんど不可能であり, また, それ
→
nCkXk
- 1 通り)。
→n×n-1C-
を要求されてもいない。 そこで,次のように二項定理を利用すると,必要とされ
る下位5桁を求めることができる。
100
(ア) 101100 = (1+100)1=(1+102)1 これを二項定理により展開し、各項に含ま
れる 10" (nは自然数) に着目して、下位5桁に関係のある範囲を調べる。
(イ) 99100=(-1+100) 1= (-1+102) 100 として (1) と同様に考える。
(2) (割られる数)=(割る数)×(商)+(余り)であるから, 2951 を900で割ったと
きの商をM, 余りを とすると,等式 2951 900M+r (Mは整数,0≦x<900) が成
り立つ。2951=(30-1) であるから,二項定理を利用して, (30-1) を 900M+r
の形に変形すればよい。
3次式の展開と因数分解、 二項定理
No.
Date
M8:0
5 (2) (ア)
法で考える。
100(1001)だと計算が大気
(1)(ア) 101100(1+100)'=(1+102)100
さないの2通り解答
=1+100C1×102+100C2 ×10 + 10°×N
=1+10000+495×105 + 10° × N
(Nは自然数)
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「展開式の第4項以下をま
とめて表した。
分集合ならば、n個の
するk個を選ぶと考
この計算結果の下位5桁は,第3項 第4項を除いて
も変わらない。
10"×N (N, nは自然数,
5)の項は下位 5桁の
計算では影響がない。
-nCn=2n
動について考え
よって, 下位5桁は 10001
(イ) 99100=(-1+100)1= (-1+102) 100
=1-100Ci×102+100C2×104 +10°×M
=1-10000+49500000 +10°×M
=49490001+10° × M (Mは自然数)
この計算結果の下位5桁は,第2項を除いても変わら
ない。
よって、下位5桁は 90001
(2) 2951-(30-1)51
展開式の第4項以下をま
とめた。 なお, 99100 は
100 桁を超える非常に大
きい自然数である。
は
(227) = k
900=302
