AL
ウス
正三角形でない鋭角三角形ABCの外心を0, 重心をGとし,線分 OG のG
を越える延長上にOH=30G となる点Hをとる。 ネーク
日 本 例題 30 線分の垂直に関する証明
このとき, AH⊥BC, BH⊥CA, CH⊥AB であることを証明せよ。
HVIS
CHART ⓢ OLUTION
S
垂直 内利用・･････ 2つのベク
AH・BC=0, BH・CA=0, CH･AB=0 を示す。
(解答)
OA=4,OB=1,OC=とする。
0は△ABCの外心であるから
OA=OB=OC
また,外心の性質 OA = OBOC や, OH, OG なども出てくるから, 点Oを始
点とする位置ベクトルで考える。
よって |a|=||=
Gは△ABC の重心であるから
a+b+c
OG=
3
p.352 基本事項 3, p.370 基本事項1
B
.
b
0
a
A
TH
C
ゆえに AF=OH-OA=3OG-OA=(a+b+c)-d=1+c
7 AH-BC=(b+c)·(c-b)=|c²²-16²²=0
AH = 0, BC ¥0 であるから AH⊥BC
したがって AH⊥BC
更に BH=OH-OB=3OG-OB=(a+b+c)=a+2
CH=OH-OC=30G¬OČ=(a+b+c)—c=ã+b
◆外心は, △ABCの外接
円の中心であるから,
OA, OB, OC の長さは
すべて外接円の半径と
等しい。
OH=3OG
基本 61
- ||=|6|
AH = 0 のとき,
∠A=90°(直角三角形)
となり、不適。
|a|=|c|
|16|= |a|
2
BH CA=(a+c)·(a−c)=lā|-|¿P²=0
CH•AB=(a+b)•(¯¯à)=|b³²-|à첪=0
BH ¥0, CA ¥0, CH ¥0, AB = 0 であるから
BHLCA, CHLAB
inf. この例題の点Hは
よって BH⊥CA, CH⊥AB
△ABCの垂心となる。
inf. 外心,重心,垂心を通る直線 (この問題の直線OH) をオイラー線という。なお,正三角
形の外心,内心、重心,垂心は一致するため, 正三角形ではオイラー線は定義できない。
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1章
位置ベクトル, ベクトルと図形
