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92項間漸化式/an+1=pan+f(n) -
次の式で定められる数列の一般項 4 を求めよ.
(1) a=1, n+1=20n+n (n=1,2,3, ...)
(2) a1=4,n+1=40-2"+1 (n=1, 2, 3, ...)
(弘前大・理工-後)
(信州大工)
型の漸化式を解く
2項間漸化式の解き方 an+1=pan+f(n) (p=0.1:f(n)はnの式)
には、変形して+1+g(n+1)=plan+g(n)}となるようなg(n) を見つけて, {an+g(n)}が等比
数列になることを用いればよい
(i) f(n)がnの多項式の場合,g(n)もf(n)と次数が等しいnの多項式である。g(n)の係数を
未知数とおいて,☆より係数を求めればよい。 特にf (n) が定数の場合は前頁で扱った.
(ii) f(n)=Aq" (g≠p, A は定数) の場合,g(n)=Bg”として, が成り立つように定数Bを定め
an+1
an
ればよい.また,an+1= pan+Ag" の両辺を"+1で割って,
+A
p"
+1 (2)².
ここで,
an
A
bn
とおいて, bm+1=bn+
として階差型の解き方 (前頁)に持ち込む手でもよい。
P
解答
(1) an+1+A(n+1)+B=2(an+An+B) を満たす A, B を求める.
an+1=2an+An+B-A と条件式を比べて, A = 1, B-A=0 :.B=1
an+1+(n+1)+1=2(a+n+1)より,{an+n+1}は公比2の等比数列.
よって, an+n+1=2"-1 (Q1+1+1)=3·2"-1
.. an=3.2"-1-n-1
左辺はA(n+1) になることに注
意.
(2) +1=44-2n+1 を 4n+1で割って
an+1
an
1+1
4n+1
an
4" 2
\+1
==
4"
bm=211 とおくと, b1=41=1,n+1=bn-(12)となるので2のとき
【 (2) の別アプローチ】
f(n) が Ag” の形の場合は、両辺
を Q"+1 で割ると, 典型的な2項
間漸化式に帰着されることに着
目. 漸化式を 2 +1 で割って,
1 \n-1
-1
bm=b1+2(bk+1-bh)=1-
k=1
-1- 12/12(1/2)-1/12+(1/1)
n-3 1+1
2
an+1
an
・=2.
=1-
-1
2"+1
2"
11-113
an
2"
Cn= とおくと, C+1=2cm-1.
(n=1のときもこれでよい)
これから解く.
よって,=40=4
=4*{/12+(1/2)"}
=2.4"-1+2"
【別解】 (2) an+1+A.2"+1=4(an+A2") を満たす A を求める.
an+1=40+4A2"-A2n+1=40+A2"+1 と条件式を比べて, A=1.
an+1-2n+1=4(an-2")より, {4-2"}は公比4の等比数列.
よって, an-2"=4"-1(α1-21)=2.4-1
.
9 演習題(解答は p.75)
次の式で定められる数列の一般項4 を求めよ.
an=2.4"-1+2"
(1) 41=2,4+1=3an+2n2-2n-1 (n≧1)
(2) α=1,n+1-20万=n.2n+1 (n≧1)
(岐阜大)
(日本獣医畜産大)
(1), (3)
an+1+f(n+1)
=k(a+f(n)) となる
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