（2）の問題ですが、⑴で出た答え以外。として、答えを出すのは不十分なのでしょうか。

.28 第2章 高次方程式 Think 例題64 3次方程式と実数解 αを実数の定数とする. 3次方程式x+(a-1)x²+(a-3)x-2a+3=0 について 次の問いに答えよ. (1) 重解をもつように,定数aの値を定め、そのときの重解を求めよ、 (2) 異なる3つの実数解をもつように,定数aの値の範囲を定めよ [考え方 まずは、次数の最も低いα について整理し、3 *) 0 xの1次式)×(xの2次式) P(x) はーー 252310 の形に因数分解する. (1) 2次方程式の解が, 1次方程式の解を含む」場合と,2次方程式が重解をい (2) 2次方程式が異なる2つの実数解をもち、かつ2次方程式の解が1次方程式 場合の2通りが考えられる. x)/(E を含まない場合である. Pk8- 解答 (1) f(x)=x2+(a-1)x+(a−3)x-2a+3 と する. J+x81- a について整理すると,z+ f(x)=x2+(a-1)x²+(a-3)x-2a+3 =(x²+x-2)a+x³-x²-3x +3 =(x-1){(x+2)a+x°-3} =(x-1)(x2+ax+2a-3) -3(x-1) より, f(x) は x-1 を因数に 1枚分解平は もつ. ご教の低い文字で//=(x+2)(x-1)a+x2(x-1)^-1d0+(a-3)・1-2a+3 これを利用して因数分解して よい. 「組立除法 (+508 +S) 11 a-1a-3-2a+3 a 20-3 f(x)=0 とすると, x-1=0 または x2+ax+2a-3=0 したがって, f(x)=0が重解をもつのは, 次の2通りの場合である。 (i)x+ax+2a-3=0 が x=1 を解 にもつ (i)x+ax+2a-3=0が重解をもつ (i)のとき,x=1 が解であるから 1'+α・1+2a-3=0 より, a=- 2014 D=a²-4(2a-3)) p =a²-8a+12 =(a-2)(a-6) したがって £), a=2, 6 重解はx=-- 32 (Ⅱ) のとき、x2+ax+2a-3=0 の判別式を Dとすると、重解をもつので、D=0である。 77 (-2)(46)=0 a 2 より, 次数の低い文字で整理して a a=2のとき a=6のとき, 数分解する. f(1)=13+(a-1)・12 x=-1 x=-3 ²SC 1 IS-₂0 1=5 1&V+S=x1 1 a -dp4 x=1 が重解 残りの解は、 2 84-206 (x-1)x+ 5000+ - 0 を解いて 3 20-1 +8 √(x + 3) = 18-9085 よ より、メー り (S=4510082 0=0 10 (+S) 3010 max²+bx+c=0 ( a = 0) 4th b をもつとき、x=- 2a のの重解を求める。 a=2,a=6のそれぞ

こちらの問題についてです。答えは以下の通りなのですが、黄色で線引きした部分で、なぜP(k)＝0とあるように、kを代入したら＝0になるとわかるのですか？？普通は数字を代入しようと思うのですが、、教えていただきたいです！、

例題 12 考え方 解 高次方程式の解の判別 方程式 - (2k+1)x2+(k+k+1)x-k=0… ① の実数解がただ1つと なるように、 定数kの値の範囲を定めよ。 ただし, 重解は1つと数える。 13 ↑とりあえず実数が十 方程式の解は, 3重解か, または実数解1つと異なる2つの虚数解である。 P(x)=x- (2k+1)x²+(k+k+1)x-k とおく。 xkを代入すると 20になる。 これより, 方程式 ① の左辺を因数分解すると (x-k){x²-(k+1)x+1}=0 よって または x-(k+1)x+1 = 0 x= k = したがって, ① がただ1つの実数解をもつのは, 2次方程式 x²-(k+1)x+1 = 0 ... ② が もう決まった (i) x = kを重解にもつ (ii) 異なる2つの虚数解をもつ のいずれかが成り立つときである。 (i) のとき, ② に x = k を代入すると k² − (k+1)k+1=0 k=1 このとき, ② は x2-2x+1=0 となり, (x-1)=0 より x = 1 を重解にもつ。 (i) のとき, ② の判別式をDとすると, D= (k+1)^-4<0より −3<k<1 (i),(ii)より -3<k≦1 14P(k)=0 であるから, P(x)はxんを因数にもつ。 201

グレーで線引きした部分の因数分解のやり方を教えてください！！

高次方程式の解の判別 方程式x- (2k+1)x2 +(k+k+1)x-k=0 ･･･ ① の実数解がただ1つと なるように、 定数kの値の範囲を定めよ。 ただし, 重解は1つと数える。 ↑ としあえず実数がブ 方程式の解は, 3重解か, または実数解1つと異なる2つの虚数解である。 P(x)=x- (2k+1)x² +(k²+k+1)x-k とおく。 4P(k)=0 であるから, P(x)はxんを因数にもつ。 これより, 方程式 ① の左辺を因数分解すると (x − k){x² − (k+1)x+1} = 0 よって x = k または x2 - (k +1)x+1 = 0 |____|___x² − (k + 1) x + 1 = 0 したがって, ① がただ1つの実数解をもつのは, 2次方程式 ··· @ ₺³ 定め (i) x =kを重解にもつ (ii) 異なる2つの虚数解をもつ のいずれかが成り立つときである。 (i) のとき, ② に x = k を代入すると 例題 12 考え方 |解 x²(k+1)x+1=02³ kを代入すると 201578 k-(k+1)k+1 = 0 k=1 このとき ② は x2-2x+1=0 となり, (x-1)2 =0 より x =1 を重解にもつ。 -3<k<1 (i) のとき, ② の判別式をDとすると, D = (k+1) - 4 < 0 より (i), (ii) より -3<k ≦1

この問題がf(a)×f(-a)の解を場合分けしている理由がわからないです。解説お願いします。

392 第6章 微分法 Check 例題221 実数解の個数 (2) 3次方程式x-3a²x+4a=0 が異なる3つの実数解をもつとする. 定 数αの値の範囲を求めよ. 考え方 例題 220 (p.391) のように定数を分離しにくい. このような場合は、次のように3次関 数のグラフとx軸の位置関係を考える. f(a) f(B) <0 y=f(x)] AJ. x 3次方程式f(x)=0 が異なる3つの実数解をもつ mň mn ⇔y=f(x) のグラフがx軸と3点で交わる mü ⇔ (極大値)>0 かつ (極小値) <0 ← (極大値)× ( 極小値) < 0 ■解答 f(x)=x-3a²x+4a とおくと, f'(x)=3x²-3a²=3(x+a)(x-a) ① 方程式 f(x)=0 が異なる3つの実数解をもつ条件は, y=f(x)のグラフがx軸と3点で交わること, (極大値)×(極小値) < 0 つまり, となることである. (i) ①より,f'(x)=0のとき, x=-a, a a>0のとき, -a [f'(x) + 20 増減表は右のよう になる. f(x) 極大 極小 a<0のとき, 増減表は右のよう になる. 3次関数においては, | (極大値)> (極小値) f'(x) + f(x) a *** 注) 例題221 で, (i) f(x) が極値をもつ、 (Ⅱ)(極大値)×(極小値) <0 のいずれかを 満たさないときは、 右の図のようにx軸 と3点で交わらない. (i) と(ii) をともに満たすことが重要である. a 20 + -a 0 極大 極小 a=0 のとき, f(x)=x3 より, f(x)=0 の解は x=0 (3重解) となり不適 (ii) f(-a)x f(a)=(2a³+4a)(-2a³+4a) 0 + =-4a² (a²+2)(a²-2)<0 (i) より, a=0 であるから,²0, ²+2>0 より, a²-2>0 (a+√2)(a-√2)>0 これより, a<-√2√2<a よって, 求めるαの値の範囲は, a<-√2,√2<a ( 極値をもたない) *** f(x) が極値をもつ ⇔ f'(x)=0 が異なる 2つの実数解をもつ f(x)=0 の (判別式) > 0 (p.373 参照) 直接, 増減表を書いて |極値を調べたが, f'(x)=0 の判別式を 使ってもよい。 判別式をDとすると, D=-4.3(-3α²) =36a²>0 より、 a<0, 0<a (a+0) となる. f(a) f(B)>0 a H1

⑴、⑵、⑶と違い、⑷のようなグラフがくるときの見分けかたはありますか？増減表を計算して出す以外の方法ありますか？

練15 (1) y = 3x4 + 4x³-1²x²+5 y₁ = (2x ³ + (2x² - 24x = [2 x(x²+x-2) = [2 x (x+2)(x-1) x=0₁-2₁ 1 20 y! | y -2 V-27 x 0 151 y + y 7 x=0₁ 2₁1. + x=-2で極小値-27 x=0で極大値 5 y 0 0 -29 2 (3) y = -x² + 4x² + 4x² + 2 9₁ = - 4x³ 1 1²X² +8x = − 4x (x²-3x + 2) = − 4x (x-²)(X - () 0 y D 5 1 L 7 2 I 0 0 1 0+ 6 1 7 2 x=0.2で極大値: x=1で極小値1 2 2 + TH (2) y = x4 -8 x ² + 16 y'=4x3-16× x = 0₁ -2,2 X 4 x (x²-4) = 4x (x-2)(x+2) y' y - V - 2 0 x y' 0 as af x = -2₁27' ut y T x = 07" +5² KL 16 y (4) y=x4+2x+1 g₁ = 4x³ + 6x² 7 0 2 0 2で極小値0 X=0₁ - 1/1/201 16 = 2x² (2x+3) - 3-1 0 0 + 0 11 7 2 Ext - 0 0 7 x=-21/2で極小値-116. 71 (<1 t x

2番の接点以外の共有点を求める問題で、 ３次式なので解が３つ出て、そのうちの一つが、X＝1なのは分かるんですが、なぜ、X＝1の時重解を持つと言えるのですか？ あと、組み立て方式で計算すると、Xが-1/2ではなく1/2が出てしまいます。

428 3次関数y=2x-3x²-12x について,次の問いに答えよ。 (1) この関数のグラフCの x=1における接線l の方程式を求めよ。 (2) Clとの接点以外の共有点のx座標を求めよ。 20 (3) Clで囲まれる部分の面積を求めよ。 〔類 17 摂南大]

（3）で、解と係数との関係より、α×α²=−2pまではだせたんでふが、その先の「すなわち」からなぜそうなるのかがわかりません。

#4432! A B 6 GO 口 完答への 道のり よって、方程式①の左辺を因数分解すると (x-1)(x-2x-2p) (2)別) (1)より -2px+2p -2px+2p. A 整式の割り算をして商を求めることができた。 ・ 整式の因数分解ができた。 x²-3x²+2(1-p)x+2p=x²-3x²+2x-2p(x-1) = x(x-1)(x-2)-2p(x-1) =(x-1)(x(x-2)-2p) =(x-1) (x²-2x-2p) (-2)-4-1-(-2p) ≥ 0 [a+a²=2 0 (3) 方程式①の解がすべて実数であるとき (2) より 2次方程式 x-2x2p=0 は実数解をもつ。したがって, 方程式②の判別式をDとすると, D≧0と なるので aa²=-2p すなわち 4+800 p2-/1/20 x=1以外の2つの解のうち一方が他方の平方となるとき, 方程式 ② の異な る 2解はαα² とおけるから, 解と係数の関係により [(a+2)(a-1)=0 | ₁ = - 2²³ (x-1)(x-2x-2p) 11 = / 2 (x-1)(x²-2x-2p) ③より α = -2,-1 α=1のとき,α=1 となり; 方程式 ① は3重解をもつから不適。 α=-2のとき, α = 4 となり, 方程式 ① は異なる3つの実数解をもつ。 よって, α=-2 また α=-2 を①に代入して p=4 23 B -- - 41 - 最低次数の文字で整理して因数 分解する解法である。 2次方程式 ax+bx+c=0…. A の判別式をDとすると 8 (1) 2-1, p=d 方程式が実数解をもつ IDNO ただし,D=62-4ac で, b=26′ = のときは 1/14-62-ac を用いても よい。 <解と係数の関係 2次方程式 ax2+bx+c=0 の つの解をα, βとすると a+B=- =-b aβ= a' ²

この問題でこの解説なんですが、(3)の解説で (2)の(i)、(ii)を同時に満たすとありますが (ii)の重解がx=3などの時はどうして考えないのですか？？

28 f(x)=x°+(a-1)x°+(6-a)x-6について、 SS 0-d+x (1) f(x)を因数分解せよ。 (2) f(x)=0 が重解をもつとき, a, bの関係式を求めよ。 (3) f(x)=0 が3重解をもつとき, 定数 a, bの値を求めよ。 の(S)

解き方を教えてください！！

f(x)=x°+(a-1)x+(6-a)xーbについて, (1) f(x) を因数分解せよ。

増減表についてです。　(4)では何故赤丸で囲ってある矢印の向きが↘︎になるのか教えていただきたいです。また、増減表の矢印の向きは必ず　↘︎ ↗︎ ↘︎ のように交互になるのだと思い込んでいたのですが、この考え方は間違っているでしょうか？ 沢山書いてしまいすみません🙇よろ... 続きを読む

. 207 練習19 次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ。 (1) x°+3x-5=0 (3) -x°+3x°-4=0 (2) -x+3x+9x-7=0 (x-2x-1=0