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演習 例題 231 4 次関数のグラフと2点で接する直線
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| 関数y=x(x-4) のグラフと異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。
[類 埼玉大 ]
基本207
指針 次の1~3の考え方がある [ただしf(x)=x(x-4), s≠t]。 3 の考え方で解いてみ
1 点 (t, f(t)) における接線が,y=f(x)のグラフと点 (s, f(s)) で接する。
よう。
③ y=f(x)のグラフと直線 y=mx+nがx=s, x=tの点で接するとして,
点 (s, f(s)), (t, f (t)) におけるそれぞれの接線が一致する。
f(x) =mx+nが重解s, tをもつ。→f(x)-(mx+n)=(x-s)(x-t)2
y=x(x-4) のグラフと直線y=mx+nがx=s, x=t
解答 (s≠t) の点で接するとすると,次のxの恒等式が成り立つ。
x(x-4)-(mx+n)=(x-s)(x-t)2
(左辺)=x^-4x-mx-n
(右辺)={(x-s)(x-t)}={x2-(s+t)x+st}2
=x4+(s+t)2x2+s2t2-2(s+t)x3-2(s+t)stx+2stx2
=x4-2(s+t)x3+{(s+t)'+2st}x2-2(s+t)stx+st2
両辺の係数を比較して
-4=-2(s+t)
m=-2(s+t)st
①から
①, 0=(s+t)2+2st
③-n=s2t2
④
s+t=2
③から m=-8-④から
..
2,
ya
下の別解は、指針の
の考え方によるもので
ある。
これと② から (Ist=-2
n=-4
s,tはμ-2u-2=0の解で,これを解くと u=1±√3 L
よって, y=x(x-4) のグラフとx=1-√3, x=1+√3の
点で接する直線があり,その方程式は y=-8x-4
s≠tを確認する。
