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例題 1331のn乗根の応用
方程式 25-1 = 0.① を満たす虚数の1つをαとするとき
(1) z = x2, a,a も方程式 ① を満たすことを示せ。
(2)(1-α)(1-α)(1-α) (1-α) の値を求めよ。
★☆
思考プロセス
見方を変える
J(1) より,解は z= 1, α, ', ', '
(2) 方程式①
【変形すると (z-1) (z+2+2+2+1)=0
(2)(2)… (z-) と表すことができる。
Action» α が z" = 1 の解ならば, 1,α,,...,-1も解であることを利用せよ
臼(1) α は ① を満たすから
このとき (2)-1=(a)-1=1−1 = 0
•z=a,c,d のとき,
いずれも1=0 を満
たすことを示す。
(a)-1= (a)3-1=13-1=0
(a)5-1=(a)4-1 = 14-1=0
よって, z = a, a, α はいずれも①を満たす。
(2) ① を変形すると (z-1) (z+2+2+z + 1) = 0
ここで,①は5次方程式であるから5つの解をもち, 1,
α, 2, 3, 4 はすべて異なるから, (1) より ① の解は
z = 1, a, a, a³, a¹
よって, 方程式 2+2+2+2+1=0
z=α,d,d,α4 であるから
...
② の解は
2 +2 +2 +2 +1=(z-a)(z-a)(za)(z-α4)
両辺に z=1を代入すると
-1
8
y
a
O
1 x
1, a, a², a³, a¹ E
五角形の異なる頂点であ
る。
②の左辺はこのように因
数分解される。この式は
zについての恒等式であ
る。
(1-4) (1-α2) (1-α) (1-α4)=14+ 1 + 1 + 1 + 1 = 5
Point... 1のn乗根の性質
例題133の結果は一般化できる(練習 133 参照)。 n ≧ 2 のとき,
VA
方程式 2"-1=0… ① に対して, α = cos
するとき、①の解は z=1,α, a, ...,
の式が成り立つ。
2π
an
an-1
2π
P31 P2 (2)
+isin-
と
Pa
n
Pi(a)
であり、次
Po
+
1x
(1-a)(1-a²)(1-a³)... (1-a"-1)= n
O
よって |1-a||1-a^||1-|...|1-a1= n... ②
この関係式には,次のような図形的な意味がある。
P-1
PR-2
方程式 ① の解で表される点は, 右の図の正角形上の点
Po, P1, P2, ・・・, P-1 であり,②は
PP, xPP × PPsx... xPoPn-1=n
よって、半径1の円に内接する正 n角形において,いずれか1つの頂点からほかの各頂
点に引いた(n-1)本の線分の長さの積はnである。
2π
練習 133α=COS
+isin
n
n
(は2以上の整数)とするとき,
262
(1-4) (1-a) (1-4)･･･ (1-α"-l)=nであることを示せ。
767 問題133
