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例題 2.44 点の存在範囲(2)
複素数 α, β は |α-1|=1, \β-il = 1 を満たす
(1)α +β が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ、
****
(2) (α-1)(β-1) が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ.(一橋犬 )
[考え方 α-1=cosp+isinp、β-i=cosq+ising とおける
解答
(a+β=z として、(α-1)+(β-i)=z-1-i から点zの存在範囲を考える.
(2) (α-1)(β-1)=(cosp+isinp) (β-1) は, 点β-1を原点のまわりにだけ回転し
た点である
www
(1) α+β=z とおくと, (α-1)+(β-i) = a +β-1-i より
z-1-i=(-1)+(β-i)・・・①
ここで, |α-1|=1 より α-1 =cosp+isinp (0≦p <2.
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C2-95
|β-il=1より、β-i=cosq+ising (0≦q<2m) とおける。よって、①は、
z-1-i= (cosp+isinp)+(cosq+ising)
つまり,
ここで、
=(cosp+cosg) +i(sinp + sing)
=2 cos cos 2-9+2isin 2+ cos 2-9
p+q
2
=2cos(cosisin +9 )
2
cosb-9
z-1-i|2|cos cos ++isin 25g
=2 2
COS
p+g +isin +9=1 で .
2
p±q|=1
2
2
|
0100
同
IS YA
0≦p<20g<2πより
π
<
2
3
であるから、cos201
第5章
したがって, ②より
|z-1-i≤2
よって, a+β(=z)の存在範囲は,点1+iを
中心とする半径2の円の内部および周上であり,
右の図の斜線部分(境界線を含む)
10
3 x
(2) |β-i=1 より 点βは,点を中心とする半径1の円の周上を動く、
よって、点β-1 は, 点 -1 + iを中心とする半径1の円の周上の点である、
また, |α-1|=1 より, α-1=cosp+isinp で
あるから, (α-1)(β-1)=(cosp+isinp)(β-1)
(0≦p<2m)で定まる点は,点-1 + iを中心とす
る半径1の円を、原点のまわりに1回転した図形
を形成する. よって、 (α-1) (β-1)の存在範囲は、
原点を中心とする半径√2-1の円と半径√2+10
の円とで囲まれた範囲であり、 右の図の斜線部分
(境界線を含む)
ya
lv2 +1
√2-12-1
√2+1
V2 +1
2-1
-√2-1
練習 複素数α βは |α-1-il=1, |β-il=1 を満たす.
C2.44 (1) βが存在する範囲を複素数平面上に図示せ
***
(2)(α-1-i) (B-2)が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ.
