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基本 例題 81 2次関数の最大・最小 (4)
THE
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区間の右外にあるから、
[3]a>2のとき
図 [3] のように,軸 x=aは
[3]
αは定数とする。 0≦x≦2 における関数f(x)=x-2ax-4aについて、次の
いに答えよ。
(1) 最小値を求めよ。
(2) 最大値を求めよ。
x=2で最小となる。
f(2)=-8a+4
最小値は
[1]~[3] から
最小
区間の右端で最小
x=0 x=2xa
この問題では、区間
軸
指針
0≦x≦2に文字αは含ま
れないが、関数f(x) に
文字 αが含まれる。
軸が
動く
軸が
fa<0のとき
動く
x=0で最小値-4a
≦a≦2 のとき
x=αで最小値 α-4a
関数f(x) を基本形に直
|a>2のとき
x=2で最小値 8α+4
x=0x=2
x=0x=2
すと
x=0x=2
(2) 区間 0≦x≦2 の中央の値は 1
[4] a<1のとき
<指針
[4]
f(x)=(x-a)-α-4a
軸は直線x=αであるが, 文字αの値が変わると, 軸 (グラフ) が動き、 区間 0≦x≦2
で最大・最小となる場所が変わる。
よって、軸の位置で場合分けをする。
(最小値 関数 y=f(x)のグラフは下に凸であるから,軸が区間に含まれるときと
含まれないとき、更に含まれないときは区間の左外か右外かで場合分けをする。
(2)最大値 グラフは下に凸であるから,軸から遠いほどの値は大きい。
よって、区間の両端 (x=0, x=2) と軸までの距離が等しいときのαの値が場合分
けの境目となる。
このαの値は、区間 0≦x≦2 の中央の値で
0+2
2
=1
f(x)=x2-2ax-4a=(x-a)-α-4a
y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線x=α
図 [4] のように,軸 x =αは
区間の中央より左側にあるから,
x=2で最大となる。
最大値は
f(2)=-8a+4
[5] α=1のとき
図 [5] のように,軸x=α は
区間の中央と一致するから,
x=0, 2で最大となる。
最大値は
f(0)=f(2)=-4
[6] α>1のとき
図 [6] のように,軸 x=α は
区間の中央より右側にあるから,
x=0で最大となる。
★ の方針。
軸x=αが、 区間
0≦x≦2の中央に対し
左右どちらにあるかで場
大
合分けをする。
x=2の方が軸から遠い。
x=1
x=0xax=2
[5]
f(x)=x2-2ax+a^
解答
-a²-4a
(1) 軸x=a が 0≦x≦2の範囲に含まれるかどうかを考え
る。
最大値は
f(0)=-4a
指針_
[1] α < 0 のとき
図 [1] のように, 軸x=αは
区間の左外にあるから,
x=0で最小となる。
[1]
★ の方針。
軸x=αが区間0≦x≦2
に含まれるか, 左外か右
外かで最小となる場所が
変わる。
[4]~[6] から
a<1のとき
x=2で最大値-8a+4
a=1のとき
x=0, 2で最大値 -4
a>1のとき x=0で最大値-4a
最小値は
f(0)=-4a
最小
区間の左端で最小。
x = ax=0x2
[2]
[2] 0≦a≦2のとき
図 [2] のように、軸x=αは
区間に含まれるから,
x=αで最小となる。
最小値は
f(a)=-a²-4a
最小
x=0 x=4 x=2
143
大
軸とx=0.2との距離が
等しい。
x=0x=1x=2
x=0 x=qx=2
x=0 の方が軸から遠い。
<頂点で最小。
練習 αは定数とする。 -1≦x≦1 における関数 f(x)=x2+2(a-1)x について, 次の問
81
いに答えよ。
(1) 最小値を求めよ。
(2) 最大値を求めよ。
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2次関数の最大・最小と決定
