EX
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のすべてにそれぞれ1点で接する円の半径をbとする。 ただし, baとする。
xy 平面の第1象限内において, 直線l: y=mx(m>0) とx軸の両方に接している半径αの
をCとし,円Cの中心を通る直線y=tx(t>0) を考える。 また, 直線lとx軸,および,
(1) tをm を用いて表せ。
(2)を用いて表せ。
(3) 極限値 lim
1 b
a
m+om
-1 を求めよ。
[東北大 ]
YA
←直線 y=tx は,直
(1) 直線 y=tx と x 軸の正の向きが
なす角を0とすると, 直線lとx軸
の正の向きがなす角は20である。
軸の正の向きとの
なす角の二等分線である
a
→
x
0 a
y=tx
2 tan
よって
m=tan20=
1-tan 20
10-00- 2t
ゆえに
m=.
①
1-12
よって
mt2+2t-m=0
-1±√1+m²
ゆえに
t=
m
-1+√1+m²
t0, m>0であるから
t=
m
←2倍角の公式。
=00
←tan0=t
500g
←tの2次方程式とみて
解の公式を利用。
(2) 半径が6である円をDとする。 Dの中心からx軸に下ろし (1) の図の黒く塗った直
た垂線にCの中心から垂線を下ろすと, sin0 について
角三角形
b-a
a+b
√2+1
b
1
t
b-a
=
すなわち
=
a+b √t²+1
b
8209-1+
a
b
a
-=Aとおくと
A-1_ t
1+A
分母を払い, 変形すると
√2+1-t>0であるから
√2+1
(√2+1-t)A=√t2+1+t
√ t²+1+t _ (√ t²+1+t)²
=
√√1²+1-t (√1²+1)²-12
A=
したがって
tan0=tから得られる直
角三角形
+2+1
=(√1²+1++)²
←分母の有理化。
1/2=(√+1 +t) ②
a
......
(3) ①,② および,m→ +0 のとき t→ +0 であることから
1/6
iimo (22-1)=im 1-12 (21°+21F+1)
m→+0m
a
t+0 2t
=lim(1-t)(t+√t°+1)=1
t→+0
←(√2+I+t)
=2t2+1+2t√2+1,
2t で約分。
