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①①
基本例題 130 図形と漸化式 (1) ･･･ 領域の個数
平面上に,どの3本の直線も1点を共有しない, n本の直線がある。 次の場合、
平面が直線によって分けられる領域の個数をnで表せ。
(1) どの2本の直線も平行でないとき。
(2) (2) 本の直線の中に, 2本だけ平行なものがあるとき。
指針 (1) n3の場合について,図をかいて考えてみよう。
ヨコ
解答
an
(1) n本の直線で平面が α 個の領域に分けられているとする。
(n+1) 本目の直線を引くと,その直線は他のn本の直線で
(n+1) 個の線分または半直線に分けられ、 領域は (n+1) 個
だけ増加する。 ゆえに An+1=An+n+1 ¿+(T+5√]$¬1+
よって an+1-an=n+1
また
a₁=2
数列{an}の階差数列の一般項はn+1であるから, n ≧2の
とき
これはn=1のときも成り立つ。
201
ゆえに, 求める領域の個数は
__n²+n+2
2
(図のD1~D』)であるが,ここで直線ls を引くと,ls は
42=4
l1,l2 と2点で交わり、この2つの交点で ls は3個の線分また
は半直線に分けられ, 領域は3個 (図のDs, Ds, D7) 増加する。
よって
as=az+3
2.2-0
PARTY
同様に, n番目と(n+1) 番目の関係に注目して考える。
n本の直線によって α 個の領域に分けられているとき, (n+1) 本目の直線を引くと
域は何個増えるかを考え, 漸化式を作る。
2-14
(2) (n-1) 本の直線が (1) の条件を満たすとき, n本目の直線はどれか1本と平行になる
から (n-2) 個の点で交わり, (n-1) 個の領域が加わる。
n-1
an=2+Σ(k+1)=-
k=1
n²+n+2
2
(2) 平行な2直線のうちの1本をeとすると,l を除く (n-1)
本は (1) の条件を満たすから,この (n-1) 本の直線で分けら
れる領域の個数は (1) から
(8+.0)
an-1
更に,直線ℓを引くと,ℓはこれと平行な1本の直線以外の
個の点で交わり
の領域が増え
よって、求める領域の個数は
an-1+(n-1)=-
(n−1)²+(n−1)+2
2
n²+n
2
+(n-1)=-
n=3 Ilz
D₂
[類 滋賀大]
D3 Do
D
[=8+₁0
D₁
k=1
Σ(k+1)="Ek+ Z1
=(n−1)n+n-1
D2
a3=7
人
一
(n+1) 番目の直線は n本
その直線のどれとも平行でな
いから,交点はn個。
(1) の結果を利用。
l
DA
αn-1 は, (1) の annの
代わりにn-1 とおく。
e
