礎問
45 はさみうちの原理 (II)
数列{a} は 0<a<3, an+1=1+√1+an (n= 1, 2, 3, ...)をみたす
ものとする。このとき,次の(1),(2),(3)を示せ.
(1) n=1,2,3, ... に対して, 0<an<3
(2) n=1,2,3,
...
に対して, 3-an≦ 3
=(1/2) (301)
(3) liman=3
818
精講
(1) 漸化式から一般項を求めないで数列の性質を知りたいとき,
ず,数学的帰納法と考えて間違いありません.
ま
(2)これも(1) と同様に帰納法で示すこともできますが,「≦」を
「=」としてみると,等比数列の一般項の公式の形になっています。
(3)44 のポイントの形になっています。ニオイプンプンというところでしょう.
解答
(1) 0<a<3････① を数学的帰納法で示す.
(i) n=1のとき, 条件より 0<a<3 だから, ① は成りたつ.
(i) =k(k≧1) のとき, 0<a<3 と仮定すると, 1 <ak+1 <4
..1<√1+ak<2
問題より。
両辺に1を加えて 2<1+√1+ak <3 ∴. 2<ak+1 <3
よって, 0<ak+1 <3 が成りたつ.
(i), (ii)より, すべての自然数nについて ①は成りたつ
