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領域問題②
② [2016 名城大]
xy 平面上に、2本の半直線l: y=x(x2), my=-x (x≦0) がある。 l上を点P
(+1, t+1) (t-1) が動き, m上を点Q (t-1, -1+1) (t≦1) が動く。
(1)直線 PQ の方程式をを用いて表せ。
1
-x2+1に接することを示せ。
(2) PQ はもの値によらず、常に放物線y=1/2x2
(3)tの値が1st1の範囲で変化するとき、 線分 PQ が動いてできる領域を求め,
図示せよ。
解説
asyson+1
[1] [2] から, a を xにおき換えて、線分 PQ
いてできる領域を表す不等式は
−2≦x<0 のとき
-*Sys+1
0≦x≦2 のとき xsys +1
が動
これを図示すると、 右の図の斜線部分である。
ただし、境界線を含む。
(1) 直線 PQ の方程式は
-t+1-(t+1)
y-(t+1)=
-{x-(t+1)}
t-1-(t+1)
ゆえに
y=t{x-(t+1)}+t+1
よって y=tx-f2+1
(2) y=ax2+1とy=1/2x2+1を連立させて
x²+1=tx-t²+1
ゆえに
x2-4tx+4t2=0
よって (x-2)²=0
この方程式はtの値によらず、常にx=2tを重解にもつ。
1
したがって, 直線 PQはtの値によらず, 常に放物線y=-x'+1に接する。
4
(3) 線分 PQ の方程式は、 (1) から y=tx-t2+1 t-1≦x+1)
ここでαを定数とし、直線x=αと線分 PQ の交点の座標をtの関数と考え、こ
れをf(t) とすると
f(t)=ta-t+1=-f+at+1=(t-1)+10
-3
a²
+1
x=α と固定するときのの条件は
11... P かつ t-1≦a≦t+1 すなわち a-1≦tsa+1
②
①,② から、点(a,t)の存在範囲は、 右の図の網の
部分のようになる。
ただし、境界線を含む。)
t=a+1
したがって、 ①と②の共通範囲は
-2
[1] −2≦a<0 のとき
-1≤t≤a+1
....... ③
O
2 a
[2]02 のとき
a-1≤t≤1 ・・・・・・・ ④
t=
ここで,y=f(t) のグラフの軸は直線t=2
である
2
が、これは区間 ③区間 ④のそれぞれの中央の値
に一致する。 yのとりうる値の範囲を調べると
[1] −2≦a<0 のとき
人
t=a-1
a
yはt=-1, a+1で最小: 1=1/27 で最大となる。
f(-1)=f(a+1)=-a,
a²
-a≤y≤+1
[2] 0≦a≦2 のとき
(1)=9
2
100
a²
+1であるから,yのとりうる値の範囲は
yはt=1, a-1で最小;t=1/2で最大となる。
f(1)=f(a-1)=α であるから, yのとりうる値の範囲は
