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00000
(2) 0≤aa2a3aas≤3
386
重要 例題 34 数字の順列 (数の大小関係が条件)
次の条件を満たす整数の組 (a1, a2, 3, 4,
(1) 0<al<ar<astas <as<9
α5) の個数を求めよ。
指針
(1) a1, 2,......, α5 はすべて異なるから, 1, 2, ・・・,
個を選び、小さい順にα1, 2,......., α5 を対応させればよい。
→
求める個数は組合せ C5 に一致する。
(3) a1+aztastastas≦3, ai≧0 (i=1,2,3,4,5)
基本 32
8の8個の数字から異なる!
(2) (1) とは違って、条件の式にを含むから, 0, 1,2,3の4個の数字から重複を許
して5個を選び,小さい順にα1, 2,........, as を対応させればよい。
→
求める個数は重複組合せ H5 に一致する。
(3)おき換えを利用すると、不等式の条件を等式の条件に変更できる。
3-(a+az+as+a+αs) =bとおくと a1+a2+as+a+αs+b=3
また, a1+a2+as+a+a5≦3から b≥0
よって、基本例題 33(1) と同様にして求められる。
(1)1,2,…………, 8の8個の数字から異なる5個を選び, 小検討
解答
さい順に α1, a2, ......, α5 とすると, 条件を満たす組が
1つ決まる。
よって, 求める組の個数は
8C5=8C3=56 (個)
(2)0,1,2,3の4個の数字から重複を許して5個を選び,
小さい順にα1, A2, ......,
が1つ決まる。
α5 とすると,条件を満たす組
よって, 求める組の個数は
4H5=4+5-1C5=8C5=56 (個)
(3) 3-(a1+a2+a3+α+α5)=bとおくと
a1+a2+a3+a+a+b=3,
ai≧0 (i=1,2,3,4,5), 60
①
よって, 求める組の個数は, ① を満たす0以上の整数の
組の個数に等しい。 これは異なる6個のものから3個取
る重複組合せの総数に等しく
MARK 6H3=6+3-1C3=8C3=56 (個)
別解 a+az+as+a+as=k(k=0, 1, 2, 3) を満たす 0
以上の整数の組 (A1, A2, 3, 4, α5) の数は5Hであ
るから 5Ho+5H1+5H2+5H3
=4Co+5C1+6C2+7C3
=1+5+15+35=56 (個)
← 等式
(2)(3)は次のようにして
解くこともできる。
(2)[p.384 検討 PLUS
ONE の方法の利用]
bi=ai+i(i=1,2,3,
4, 5) とすると, 条件は
0<b<bz<b<ba<bs<9
と同値になる。 よって
(1)の結果から 56個
(3)3個の○と5個の仕
切りを並べ、 例えば,
|○||〇〇|| の場
合は (0,1,0,2,0)
を表すと考える。
このとき
|A|B|CD|E|F
とすると, A, B, C,
D, E の部分に入るO
の数をそれぞれ, 2
a3, 4, as とすれば、
組が1つ決まるから
8C3-56 (1)
振り返り
●場合の数を
によるのが
●代表的な
(a+b)(
2700=2
.
.
10人
10人を
(ア)特
(イ) 牛
・10人
異な
・10人
・3本
・正
(イ)
・10
.
10
・a
組
