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C2-48
(396)
第5章 複素数平面
Think
題 C2.22 単位円に内接する正多角形
複素数平面上において, 原点を中心とする半径
1の円に内接する正六角形の頂点を表す複素数を,
左回りに Z1 Z2 Z3 Z4, 25, 26 とする.
y
23
24
O
また,a=cosisin とする.
****
2ドモアブルの定理
(2)(1)よりは1の6乗根の1つであり.
1, a, a, a, a, a
が 2-1=0の解となるから、
z-1=(z-1)(za)(za)(za)(za)(za)
(397)
p. C2-38 例題 C2.19
注)参照
y4
02
a
3
このとき 次の問いに答えよ.
(1) 21+2+2+2+25 +26 の値を求めよ.
2
25
(2)(1-α)(1-α)(1-α) (1-α') (1-α)=6であることを証明せよ。
考え方 Z1,Z2,Z3, 24, 25, 26 は正六角形の頂点であり,この
6点は,単位円周上の6等分点である
つまり,点2」を原点のまわりにだけ回転させると、
とおける.
......②
a
-1
0
一方、
2-1=(z-1)(z+2+2+2+z+1)③
(人監事金)
である.ここで, ② ③より.
(z-1)(za)(za)(za)(za)(za)
=(z-1)(2+2+2+2+2+1)
であるから!
(za)(za)(za)(za)(za)
=2+2+2+2+z+1
となる.
これは,z についての恒等式であるから, z=1 を両
辺に代入すると,
a
a³
22に移る。 同様に,それぞれの点を原点O のまわりに匹
だけ回転させると,
22→Z3Z3ZZ → Z5, 2s → Z6 にそれぞれ移る+0800
(p.C2-38 例題 C2.19 注》 参照)
(1-α) (1-α) (1-α) (1-α) (1-α°)=6
が成り立つ
モアブルの
Focus
|解答
(1) Z1・・・･･, Z6 は単位円周上の6等分点である.
2π
また, α=COS- +isin- は、点zを原点のまわり
n
www
今だけ回転させる複素数であるから,
2π
a=cos +isin とすると,単位円周をn 等分する点は,
n
1, α, a, α^-' と表される
また,
C2-49
第5章
22=Qz1
23=αz2=2z1
26=025=021
となるので,
21+2+2+2+2+26
=z₁+azi+az₁+a³z₁+a'z₁+az₁......
z-1=(z-1)(z -α) (z -α^)......(z-a-l)
注)(1-α) (1-α²) (1-α) (1-α) (1-α)=6 より 両辺の絶対値をとると.
(
(1-α) (1-α) (1-α²) (1-α) (1-α)|=|1-α||1-^||1-'||1-α '||1-α| =6 と
なるこの式の図形的な意味を考えてみよう.
単位円周を6等分する点を A (1) A(a),
30
①は,初項 z1, 公比αの等比数列の初項から第6項ま
での和である.
初項 Z1, 公比 α
(天丸)
Sale Ba
(αキ1) の等比数
A2(2), As(a), A(a), As(α) とすると,
単位円の弦の長さの積
AAAA2A(A3A)AAAs=6
であることを表している.
A(a)
A(a)
As(a³)
MAD (1)
0
α≠1 より
1-a
となる.
ここで,
よって,
21+22+2+2+25+26=21 (1-0)
a²= (cos +isin 77°
=cos2n+isin2π
=1
*#J
21+2+2+2+25+26=0
2 (1)
1200+ 2 (6)
列の初項から第
n項までの和は,
z₁(1-a")
1-a
このことは,練習 C2-22 の(2)のとおり,単位円周を
等分する点についても成り立つ つまり半径1の
円に内接する正n角形の1頂点から、他の各頂点に
引いた線分の長さの積はnになる.
A(a)
As(a)
練習
02.22 接する正五角形の頂点を表す複素数を、左回りに21.2.
***
23.…………… とする。また a=cos 2+isin 2 とする.
n
n
(1)+22+2s+…+2=0であることを証明せよ。
(2)(1-α) (1-α²) (1-α)・・・・(1-α"-1)=nであることを
(例)証明せよ.
複素数平面上において原点を中心とする半径1の円に
22
21
-1
0
1 x
12月
B1
B2
C1
(北海道大改) p.C2-5124
G2
