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する。 辺ABを
xl-x (0≦x<l) の比に内分する点Pと,辺ACをy: l-y (0≦y<1> の比に内
分する点Qをとり、線分BQ と線分 CP の交点をRとする。 このとき, RがAM
に含まれるような (x,y) 全体をxy平面に図示し, その面積を求めよ。 (ただし、道
AB. 辺ACを0:1の比に内分する点とは,ともに点Aのこととする。)
2003年度 (3)
△ABCにおいて, 辺ABの中点をM. 辺ACの中点をとする。
ポイント 前半は、平面ベクトルの典型問題である。 平面上のどのようなベクトルも
その平面上の2つのベクトルa, a≠0. b=0, ax b) を用いて, Bb (a. B
は実数) の形に表されること, そしてその表し方は1通りであることは重要な事実であ
る。また、△ABCの間および内部にある点Pは, AP=αAB+ BAC (a+β≦1,420
B20) で表されることもマスターしておくべき基本事項である。
520) 不等式の表す領域の図示と面積を求めるための定積分計算である。
解法
△ABQにおいて, AQ=yAC (0≦y<1) であるか
ら,実数s を用いて
AR = (1-s) AB+syAC (0≦s≦1) ...... ①
と表せる。
また, ACP において, AP=xAB (0≦x<1)
であるから実数を用いて
AR=AB+(1-1) AC (0≦t≦) ....... ②
と表せる。 ABとACは1次独立 (AB AC.
MEAN
AB≠0. AC ±0) なので ①②より
したがって. ①より
AR=(1-1-4) AB+1-5
1-xy
ここで
-xyAC=
x (1-y)
1-xy
B
1-s=tx, sy=1-1
が成り立つ。 0≦x<1,0≦y<1に注意して, この2式からtを消去すると
1-1
E'S
(1-x)
-AB +
Level B
M
O
P
_y(1-x) -AC
1-xy
x(1-y)
1-xy
とおくと AM=
y (1-x)
9=
1-xy
AM-AR AN-ACCA&
AR=pAB+qAC=2pAM+2qAN
となり、点Rが△AMN に含まれるためには
xy-
2p+2q≦1④
が成り立つことが必要十分である。 ③を用いると, ④ ⑤ はそれぞれ
y(1-x)206
1-xy
x+y-2xy=-xy
=
1-xy
0≦x<1,0≦y<1より. ⑤'は成り立つ。
また, 0≦x<1,0≦y<1に注意して, ④'を変形す
ると
よって, 0≦x<1,0≦y<1のもとで, ④’を満たす
点(x,y)をxy平面に図示すると、右図の斜線部
分(境界はすべて含む)になる。
すなわちy=1/1 23
2p20. 2q205062
[注]不等式 (x-2)(x-2/31) 2010/19
リー
=
x (1-y),
-≥0.
1-xy
5- £² (1.-7. 3) 4
S=
9
2
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(10)+
§3 平面図形 129
UN
+ 1/23 を描く。 次に、この境界線で区切られた3つの部分の1つを選
y=
の表す領域を図示するには、まず境界線 (x-2)(x-2)=1/
*3
び、その中の1つの点の座標を不等式に代入してみて、成り立てばその点を含む部分に
斜線を施し(同時に境界線をまたいだ隣の隣にも斜線を施す)。 成り立たなければ隣の
部分に斜線を施す。 正領域∫ (x,y) > 0.負領域f (x,y) <0は境界線をまたいで交互に
現れることを利用するのである。
さて 求める面積をSとすると
