青線の部分が分からないので教えてほしいです。

□ 124 次の式を因数分解せよ。 SET 021 *(1) 2x3+x²+x-1 (2) 2x3+x2-x+3 *(3) *+3x3-5x2-3x+4 125 (1) 多項式P(x)=x+ax+b を x-1で割った余りが3, x+1で割った 余りが5であるとき、 定数 α, bの値を求めよ。 TET

高一数Aです。 124(4)の1行目(a5乗🟰7でわった…)のところから意味がわかりません。 解説して頂けるとありがたいです🙇‍♂️

○ 整数 n は, たときの余 基本 例題 124 割り算の余りの性質 000 a は整数とする。αを7で割ると3余り, 6を7で割ると4余る。このとき, 次の数を7で割った余りを求めよ。 (1)α+26 (2) ab (3) α^ (4) a2021 p.536 基本事項 1,3 指針 前ページの基本事項の割り算の余りの性質を利用してもよいが,(1)~(3)は, a=7k+3,b=71+4 と表して考える基本的な方針で解いてみる。 (3)(7k+3)を展開して、7×○+▲の形を導いてもよいが計算が面倒 d' = (42)2 に 着目し,まず,2を7で割った余りを利用する方針で考えるとよい。 (4) 割り算の余りの性質 4αをmで割った余りは,r” をmで割った余りに等しい を利用すると,求める余りは「32021を7で割った余り」であるが,32021 の計算は不可 能。 このような場合,まず α” をmで割った余りが1となるnを見つけることか ら始めるのがよい。 CHART 割り算の問題 A=BQ+R が基本 537 (割られる数) = (割る数)×(商)+(余り) a=7k+3,6=7l+4(k, lは整数) と表される。 解答(1) α+26=7k+3+2(71+4)=7(k+2l)+3+8 IS+ bh=7(k+21+1)+4 したがって,求める余りは 4 =7(7kl+4k+3 +1) +5 7 を除法の原 と呼ぶこと る。 -7.(-4)-2 ると,0≦x<b (8+1 (2) ab=(7k+3)(71+4)=49kl+7(4k+3l)+12 (I+ したがって、求める余りは 5 Tour to a hely かしいり たさない。 のときa=bg りαはもの倍 5. bはαの約数で Bk のとき, A 3の倍数。 n<b ると (3)²=(7k+3)2=49k²+42k+9=7(7k²+6k+1)+2 d2=7m+2(m は整数) と表されるから Da=(a²)²=(7m+2)²=49m²+28m+4 したがって=7(7m²+4m)+4 したがって,求める余りは 今 AE)E= (4)(3)より, αを7で割った余りが4であるから,7 で割った余りは, 4･3を7で割った余り5に等しい。 ゆえに,αを7で割った余りは5・3を7で割った余り 1に等しい。 α2021=(a)336.α5であるから, 求める余りは,1336.5=5 を7で割った余りに等しい。 したがって, 求める余りは 5 別解 割り算の余りの性質 を利用した解法。 (1)2を7で割った余りは 2(2=70+2) であるか 25を7で割った余 りは2･48を7で割っ た余りに等しい。 ゆえに α+26を7で 割った余りは3+1=4を 7で割った余りに等しい。 よって、 求める余りは 4 (2) abを7で割った余り は3･4=12を7で割った 余りに等しい。 よって、 求める余りは 5 (3)αを7で割った余り は3=81 を7で割った 余りに等しい。 よって、 求める余りは 4 このとき

数IIの（2）がわかりません。 [と〇の部分がわかりません。

96 重要 例題 57 剰余の定 (1) f(x)=x-ax +6 が (x-1)2で割り切 を温以上の整数とするとき、 x-1 を (x-1)で割ったときの余りを 求めよ。 CHART & SOLUTION 割り算の問題 基本公式 A=BQ+R を利用 1 次数に注目 ② 余りには剰余の定理 [学習院大] 基本 53 (1)(x-1)2で割り切れる⇒f(x)=(x-1)2Q)×(左党 ⇒f(x)がx-1で割り切れ、更にその商がx-1で割り切れる。 (2)次の恒等式を利用する。 ただし, nは自然数とし,°=1,6°=1である。 解答 a-b"= (a-b)(a1+α"-26+α"-362++ab"-2+6"-1) (1) f(x) は x-1で割り切れるからdf(1)=0 よって 1-a+b=0 -aa-1 L ,348 10 1 1 -α+1 ゆえに b=a-1.. ・① したがって f(x)=x-ax+α-1 =(x-1)(x2+x+1-α ) ST-A-AS-8-Sa-11-a+1 g(x)=x2+x+1-α とすると よって 3-a=0 ゆえに g(1)=0 a=3 条件から,g(x)も で割り切れる。 これを 1 に代入して b=2 (2) x-1 を2次式 (x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余 りを ax + b とすると,次の等式が成り立つ。-xs- x"-1=(x-1)2Q(x)+ax+b 両辺に x=1 を代入すると 1 割り算の基本公式 A=BQ+R ゆえに x"-1=(x-1)2Q(x)+ax-a 0=a+b よって b=-a =(x-1){(x-1)Q(x)+α} x"-1=(x-1)(x"-1+x"-2++x+1)であるから xn-1+x"-2+……………+x+1=(x-1)Q(x)+α) (x-1)2Q(x)+α 1=x であるか b=-a=-n) (S-x)=8の項数はxから 両辺に x=1 を代入すると 1+1+....+1+1= a よって a=n ゆえに したがって、求める余りは nx-n PRACTICE 570 での

数学の問題です 解説の下にある別解の青の部分が理解できません。青の上の文章は理解出来ました なぜ=で繋げられるのでしょうか

96 基本 56 剰余の定理利用による余りの問題 (2) 多項式P(x)をx+1で割ると余りが2x3x+2で割ると余りが3x+7 であるという。このとき,P(x) を (x+1)(x-1)(x-2) で割った余りを求めよ。 指針 例題 55と同様に、割り算の等式 A=BQ+R を利用する。 基本55 重要 57 3次式で割ったときの余りは2次以下であるから,R=ax2+bx+cとおける。 問題の条件から、このα, b, c の値を決定しようと考える。 [別解] 前ページの別解のように, 文字を減らす方針。 P(x) を (x+1)(x-1)(x-2) で割ったときの余りを、更にx3x+2 すなわち (x-1)(x-2)で割った余りを考 える。 ...... ① 3次式で割った余りは,2 次以下の多項式または定 数。 P(x) を (x+1)(x-1)(x-2) で割ったときの商をQ(x), 解答 余りをax+bx+c とすると,次の等式が成り立つ。 P(x)=(x+1)(x-1)(x-2)Q(x)+ax2+bx+c ここで,P(x) をx+1で割ると余りは2であるから ② P(-1)=-2 また,P(x) をx3x+2 すなわち (x-1)(x-2) で割った ときの商をQ(x) とすると <B=0 を考えて x=-1, 1, 2 を代入し, a,b,cの値 を求める手掛かりを見つ ける 解答 (2) 指 ゆえに P(1)=4 ****** P(x)=(x-1)(x-2)Qi(x)-3x+7 3, P(2)=1 ...... ④ よって, ①と②~④より a-b+c=-2,a+b+c=4,4a+26+c=1 この連立方程式を解くと a=-2,b=3,c=3 したがって, 求める余りは 2x2+3x+3 別解 [上の解答の等式① までは同じ] x2-3x+2=(x-1)(x-2) であるから, (x+1)(x-1)(x-2)Q(x)はx2-3x+2で割り切れる。 ゆえに,P(x) をx2-3x+2で割ったときの余りは, ax2+bx+cをx2-3x+2で割ったときの余りと等しい。 P(x) を x2-3x+2で割ると余りは-3x+7であるから ax2+bx+c=a(x2-3x+2)-3x+7 よって, 等式①は,次のように表される。 P(x)=(x+1)(x-1)(x-2)Q(x)+α(x²-3x+2)-3x+7 したがって P(-1)=6a+10 P(-1) =-2であるから 6a+10=-2 よって a=-2 8+x=2+01 求める余りは-2(x^2-3x+2)-3x+7=-2x2+3x+3 (第2式) (第1式) から 266 すなわち 6=3 この解法は、下の練習 56 を解くときに有効。 ax2+bx+c を x2-3x+2で割ったとき の余りをR(x) とすると 商は αであるから = (x+1)(x-1)(x-2)Q(x) P(x)=(x)9 +α(x2-3x+2)+R(x) =(x2-3x+2) ×{(x+1)Q(x)+α}+R(s) 多項式 P(x) を (x-1)(x+2) で割った余りが7x, x-3で割った余りが1であると ③ 56 き,P(x) を (x-1)(x+2) (x-3) で割った余りを求めよ。 【千葉工大) 67.38 練習 $57

（2）ではなぜわざわざf'(x)=0にして考えるのですか？

学Ⅱ+B 解答編 ★★★ 極値の計算 140 関数 f(x)=x-3x²-6x+5 について, f'(x)=3(x²-2x-2) である。 f(x) をx²-2x-2で割ったときの商と余りを求めよ。 (2) f(x)の極値を求めよ。 ポイント④ f'(x)=0の解αの値が複雑な場合は, 割り算の等式 A=BQ+R を利用して極値を求めるとよい。 f(x)=f'(x)g(x)+r(x) ならf(α)=r(a) INA

写真のピンクで囲った変形？が、どういうことなのかわかりません。教えてください！よろしくお願いします🙇

35. Go A 例題 19 ユークリッドの互除法の応用 思考プロセス nは2桁の自然数とする。 2つの自然数 6m² + 14n +55 と2m² +4n+17 互いに素ではないとき,この2数の最大公約数を求めよ。 さらに、このよ うなnをすべて求めよ。 « ReAction 素因数分解が容易でない2数の最大公約数は, ユークリッドの互除法を利用せよ 互除法の原理… 2つの自然数a, b に対して,a=bg+r (r≠0) のとき (α ともの最大公約数)=(bとrの最大公約数) 6n2+14n+55=3(2n²+4n+17) + 2n+4 411 (6n2+14n+55と2n² +4n+17の最大公約数)= (2n²+4n+17 と の最大公 2次 2次 2次 1次 次数が下がる 次数を下げる 繰り返すと0次 (整数)になる 解 6m² +14n+55を2m²+4n+17で割ると 例題 9 IA 6m² +14n+55=3(2n²+4n+17)+2n+4 2n²+4n+17を2n+4で割ると 2m² +4n+17=n(2n+4)+17 A=BQ+R の形をつ る。 301 よって, 6m² +14 +55 と 2n² +4n+17 の最大公約数は互除法の原理 2n+4と17の最大公約数と一致する。 ここで, 17 は素数であるから, 2n+4 と 17 の最大公約数 は1または17であるが, 6n² + 14n+55 と 2n² +4n+17 は 互いに素ではないから, 最大公約数は1ではない。 よって, 求める最大公約数は 17 ゆえに, 2n+4は17の倍数である。 ここで, nは2桁の自然数であるから 24≦2n+4 <204 (6m² +14n+55と 2n²+4n+17 の最大公 =(2n²+4n+17 と 2 の最大公約 = (2n+4と17 の最大公約 また, 2n+4は偶数であるから 2n+4=34,68, 102, 136,170 したがって n=15,32,49,66,83 Point...ユークリッドの互除法による多項式の最大公約数の求め方 2つの多項式 A, B の最大公約数を求める手順 ①AをBで割ったときの余りR を求める。 (2) BをR で割ったときの余り R2 を求める。 (3) ②と同様の作業を R が整数となるまで繰り 返す。 その整数 R が求める最大公約数である。 候補を絞り込む nが2桁の自然数 す わち 10≦x<100 である ことから, 2n+4の 得る値の範囲を絞り込む 2n+4=2(n+2) より 2n+4は偶数である。 6n2+14n+55=3(2m²+4n+17)+2n+4 2n²+4n+17=n(2n+4)+17 (0次(整数) 最大公約数は17 +3 習 19 n は 50 以上100以下の自然数とする 2つの白枠数 31 2 12m +76 [と

(4)についてです a^6が1になって、a^5が5になるのはなんでですか？

基本 例題 124 割り算の余りの性質 は整数とする。 α を7で割ると3余り, 6を7で割ると4 次の数を7で割った余りを求めよ。 1) a+26 針 (2) ab (3) a 00000 リリ #4) 2021 /p.536 基本事項 1.3 前ページの基本事項の割り算の余りの性質を利用してもよいが,(1)~(3) は, a=7k+3,b=7l+4と表して考える基本的な方針で解いてみる。 (3)(7k+3)を展開して, 7×○+▲の形を導いてもよいが計算が面倒。α* = (q2)" に 着目し,まず,2を7で割った余りを利用する方針で考えるとよい。 (4) 割り算の余りの性質 4αをmで割った余りは,r をmで割った余りに等しい を利用すると、 求める余りは 「32021 を7で割った余り」であるが,32021の計算は不可 能。 このような場合,まず α を mで割った余りが1となるnを見つけることか ら始めるのがよい。 CHART 割り算の問題 A=BQ+R が基本 537 (割られる数) = (割る数)×(商)+(余り) a=7k+3,b=71+4 (k, lは整数) と表される。 (1) a+26=7k+3+2(71+4)=7(k+2l)+3+8 7(k+21+1)+4 したがって, 求める余りは (2) ab=(7k+3)(71+4)=49kl+7 (4k+3l)+12 =7(7kl+4k+3+1) +5 って、求める余りは 5 k+3)2=49k²+42k+9=7(7k²+6k+1)+2 a2=7m+2(m は整数) と表されるから a=(a²)²=(7m+2)²=49m²+28m+4 =7(7m²+4m)+4 別解 割り算の余りの性質 を利用した解法。 (1) 2を7で割った余りは 2(2=7.0+2) であるか ら 26を7で割った余 りは2･48を7で割っ た余りに等しい。 ゆえに, α+26を7で 割った余りは3+1=4 7で割った余りに等し よって、 求める余りは okth したがって, 求める余りは ( (4)(3)より, α を7で割った余りが4であるから, で割った余りは 437で割った余り5に等しい。 ゆえにαを7で割った余りは5･3を7で割った余り 1 に等しい。 ®を7 (2) abを7で割った余 は3・4=12を7で割 余りに等しい。 よって、 求める余り Q2021 (α6)336.αであるから, 求める余りは, 1336.5=5 を7で割った余りに等しい。 (3)αを7で割った は3=81 を7で割 余りに等しい。 よって、 求める余 したがって、求める余りは 5

(１)についてです！なぜ余りをax+bのおけるんですか？余りをaとおくだけじゃだめなんですか？

24 基本 例題 55 剰余の定理利用による余りの問題 (1) 00000 (1) 多項式 P(x) を x-1で割ると余りは5, x-2で割ると余りは7となる。 のとき,P(x) をx2-3x+2で割った余りを求めよ。o+x=(x)q左員[近畿大] 類 ° (2) 多項式 P(x) を x2-1で割ると4x-3余り,x2-4で割ると3x+5余る。 のとき,P(x) をx2+3x+2で割った余りを求めよ。 +x= P(a) ●基本 54 重要 57 指針 P(x) が具体的に与えられていないから、実際に割り算して余りを求めるわけにはいか ない。このような場合, 割り算の等式 A=BQ+R を利用する。 (1) 特に、余りR の次数が割る式Bの次数より低いことが重要なポイント! 2次式で割ったときの余りは1次式または定数であるから, R=ax+b とおける。 条件から,このa,bの値を決定したい。 それには,割り算の等式 A=BQ+R で, B=0 となるxの値(これを●とする)を考えて,P(●) の値を利用する。 CHART 基本等式 A=BQ+R 割り算の問題 1 R の次数に注意 2 B=0 を考える 解答 (1) P(x) をx2-3x+2 すなわち (x-1)(x-2) で割ったと きの商をQ(x), 余りを ax+b とすると, 次の等式が成り この立つ。組 20 P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b 条件から P(1)=5 P(2)=7 ゆえに a+b=5 ゆえに 2a+b=7 (S) ① 剰余の定理。 また, の両辺にx=1 を代入 2次式で割った余りは, 1次式または定数。 Job B=(x-1)(x-2) ①,②を連立して解くと よって, 求める余りは 2x+3 (2) P(x) をx2+3 +2 すなわち (x+1)(x+2) で割ったと きの商をQ(x), 余りを ax+b とすると,次の等式が成り 立つ。 +α=2,b=3 -) 0+ (=) +32 P(1) = a+b P(x)=(x+1)(x+2)Q(x)+ax+b また,P(x) を x2-1, x2 -4 すなわち (x+1)(x-1),d-p (x+2)(x-2) で割ったときの商をそれぞれQi(x),Q2(x) とすると P(x)=(x+1)(x-1)Q1(x)+4x-3 P(x)=(x+2)(x-2)Q2(x)+3x+5 ***** ....... ① ② ①から P(-1)=-7 これとイから-a+b=-7S ②から P(-2)=-1 これとイから-2a+b=-1 ④を連立して解くと α=-6,6-13 2次式で割った余りは, 1次式または定数。 B=(x+1)(x+2) a,bの値を決定する ためには,P(-1), で,①,②にそれぞれ P(-2) が必要。 そこ x=-1, x=-2を代 ....... ③ 求める余りは6x-13

黄色マーカーのところがわかりません。 なぜf'(x)g(x)+f(x)g'(x)になるんですか？

きの余りを求めよ。 f(x) (x-3)で割ったときの商をQ(x) とし, 余りをpx+q とすると,次の等式が成り立つ。 練習 xについての多項式f(x)について,f(3)=2f'(3) =1であるとき, f(x) を (x-3)2で割ったと ③ 201 1+58- ←余りの次数は,割る式 の次数より低い。 f(x)=(x-3)2Q(x)+px+α ...... ① ←A=BQ+R (2) 両辺をxで微分すると f'(x)=2(x-3)Q(x)+(x-3)2Q(x)+p ② ①②の両辺に x=3 を代入すると f(3)=3p+qf'(3)=p f(3) =2, f'(3) =1であるから 3p+g=2,p=1 これを解くと p=1,g=-1 したがって, 求める余りは x-1 ←下線部分は {f(x)g(x)}' R +=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) を利用している。 (C)

写真は剰余の定理の解説なのですが、アの式の必要性を教えていただきたいです。 使ってないのでいらないのでは無いでしょうか､､､🤔

解答 B=0 となるxの値 (こ 基本等式 A=BQ+R CHART 割り算の問題 Rの次数に注意 2 B=0を (1) P(x) をx3x+2 すなわち (x-1)(x-2) で割ったと きの商をQ(x), 余りをax+b とすると, 次の等式が成り 立つ。 P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b 12 1 ア 条件からP(1)=5 P(2)=7 ゆえに a+b=5 ゆえに ① 2a+b=7 2 ①,②を連立して解くと a=2.6=3 よって, 求める余りは 2x+3 (2) P(x) を x2+3 +2 すなわち (x+1)(x+2) で割ったと きの商をQ(x), 余りを ax+b とすると, 次の等式が成り 立つ。