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花子:1,tを自然数とすると、2'St<2'+1のとき,領城 D内において直線x=
O や 第4問 数列
第4問(選択問題)(配点 20)
(0<y$logax
(2SxS72
0 Dは、右図の灰色の部分である。
「 だし、x軸上は含まない。
立不等式
ax- 2
'sloga.x
の表す領域をDとする。
の表す領
1-8-
太郎さんと花子さんは,次の問題について話をしている。
y= log」x
000
2SrS72
T 2 内M
| 2
72
領城D内において、直線x=2
上の格子点は(2, 1)の1個。
直線x=3上の格子点は(3, 1)の1個。
直線x=4上の格子点は(4,1),(4, 2) の2個。
問題 座標平面上で, 連立不等式」
E S0
不等式から、母比率pの。
の範囲を求める。
0.0800 80uno
O724
TA)
の
がともに整数である点のことである。
お る
レウお
で関 sI<2*)のとき、底2は1より大きいから
アは
直線x=5, x=6, x=7上の格子点も同様にいずれも2個である。
太郎:格子点の個数はどうやって求めたらいいのかな。
花子:領城Dにおける直線ェ=t(2StS72)
10e1.0aroro
上の格子点の数を考えてみよう
(1) x座標に着目して格子点を求める方法を考えている。
log:2'S logat<log:2'*1
1-
S logatく+1
個あるよ。直線x=
8.01889.0
イ2個あるね。U
ア
よって、直線x=t上の格子点は
()SIE
ATTENTION 」
「信頼区間」という言象。
正しく理解しておくこ。
だ。3
tnie
太郎:直線x=2上に ア||個あり,x=3上にも
るな回間る
であるから、全部で1個(O)である。
また、格子点が1個である!の値は -[A」
x=5, x=6, x==7上には, いずれも
A と
同じ個数の格子点をもつまをひと
まとまりとして数える。
上には「ウ0個の格子点があるね。2°=64 だから,領域 D内の
を計算して求められ、
2', 2'+1, 2'+2, …, 241-1
だけあり、その個数は
2+1-2= 2'(2-1) =2' (個)
領城D内の25×<2°の範囲に含まれる格子点の個数は、こささ
18-X
0.0
さち小地
1
エ
S.
2Sx<2°の範囲に含まれる格子点の個数は
「を1,2,3,4,5としたときの個数の総和であるから
d
これに,2SxS72の範囲に含まれる格子点の個数を足すと全体の個め
ofcata.s.o
2* (O)
Sリ= (E.E<7
S.S 2S209-aと表される。
8881.0-
が求められるね。
0
バ0.0
)領城D内の格子点で 座標が1であるものは
数学化するカ
ウ
の解答群
a
T0o1 s
2080
E10』
であり,y座標が1である格子点の個数は全部で71個である。
次に、y= logaxにおいて、y=2のとき <B]
log2x =2より x=4
y座標が1,2のときの格子点の個
数をもとにして、, y座標がkのと
きの格子点の個数を考える。その
とき、logax=k よりx=2* であ
ることを利用する。
O 1-1
01
の +1
-D
よって,y座標が2である格子点の個数は
100-
出本
障
B
y= log2x のグラフ上の格子点を求
める。
ェの解答群
と
であるから,全部で 69個である。
次に,kを1Skい6を満たす自然数として, y座標がんであるとき、
ルe,0 880N.0
K o
0 2(k-1)-2*
100000.0182uNo8S
誤答注意」
log2x=kより
0 22
CL T0
60 とおくと
格子点の個数を数えるとき、
両端のx座標の差から「(72-2'
個」としては間違いだ。
数列a,a+1, a+2, …、b
の項数は、b-a+1となること
注意!
D×00.1-%%=A
0.0×a0.1-0S.0=
x=2
B.0.O.0 OAO BS
0 2-2*+10 2(e+1)-2-
O 2(k-1)-2*+1
よって,第々群に含まれる格子点は
atsL0
880b.01TyON ovO01 00
であるから,全部で(73-2*)個(0) である。
(数学II·数学B第4間は次ページに続く。)
カxa0.1+%3
(第2回-15)
A-8-」
