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基礎問
220 第6章 積分法
120 回転体の体積 (V)
曲線 y= (vi-va) (x≧0, a>0) について,次の問いに答えよ.
(1) この曲線のグラフをかけ.
(2) この曲線と y=α によって囲まれた部分を直線y=a のまわりに
1回転してできる体積を求めよ.
(1) 75 をもう一度読みかえしてみましょう. 今回は, 極値
を求める必要がありますから, y' は因数分解することになります.
..........
それならば,このまま微分した方がよいでしょう.
(2)今まで学んだ回転体の体積は、回転軸がx軸かy軸でした。今回は、y=a
です.いったいどのように考えればよいのでしょう。 目標は, 「回転軸をx
軸に重ねる｣ことです.
精講
(1) x>0 のとき
y'=2(√x - √a). (√x - √a)=x^² (√x - √a)
1-√a
=1-
解答
x→+0
->0
I
√a
2x√x
よって, グラフは下に凸で,増減は表のようにな
り, limy'=-8, limy =∞ よりグラフは右図.
218
0 ... a
y'
4 a
0 +
V 20
(2) 曲線と直線y=α の交点のx座標は
(√x - √a)² = a√x - √√a = ± √a
√x=0, 2√a
:: x=0, 4a
8/4
a
10
x=0のとき､
y'の分母= 0
となるので
a
注 limy' を調べているのは, y' が x=0 で定義されていない, すな
x→+0
わち, 微分可能でないからです. このことは, グラフにおいて点
(0, a) でy軸に接するようにかかれている部分でいかされています。
IC
求める体積Vは〈図Ⅰ>の斜線部分を直線y=a のまわりに回転させ!
た立体の体積だから、この図形を軸の正方
向に-4だけ平行移動した <図II〉の斜線部
(141)
分をx軸のまわりに回転すればよい。
"".
V=1
= πf^^{(√x - √a)²-a³dx
= n₁²(x-²√a √x)²dx
演習問題 120
*4α
= nſ₁² (x² − 4√a x² + 4ax) dx
ポイント
x³ 8√a 5
5
8.25
= π[3³
= nα² (43
4³
242
15
=
・+2・4
5+2.4²)
-ла³(10-24+15)
-x²+2ax²
πa³
14g
YA
0 a
221
32
15
数学ⅡI・B48 ポイントによれば, 平行移動の公式は次の通り。
注
y=(√x-a-a
y=f(x) をx軸の正方向にp,y軸の正方向に qだけ
平行移動すると, y-q=f(x-p) となる.
Anx
回転軸がx軸やy軸でないとき,
平行移動して回転軸を軸や軸に重ねる
(1411)
4 エ
y=cosx のグラフと, 点 (0, 1) と点 (2m, 1 ) を結ぶ線分で囲ま
れた領域を直線y=1のまわりに1回転してできる立体の体積V
を求めよ.
79
第6章
