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テーマ 37 3次方程式の重解
応用
a は実数とする。 3次方程式xー2x²+(a-3)x+α=0が2重解をもつと
き定数αの値を求めよ。
こいい
方程式が (x-a)(x2+px+q)=0と変形できたとすると,2重解をもつの
は次の [1] [2] のいずれかの場合。
[1] x2+px+q=0の解の1つがαで,他の解はαでない
[2] x2+px+q=0がα以外の重解をもつ may you
(x+1)(x²-3x+a)=0
[1] x+1=0の解x=-1がx-3x+α=0の解であるとき
(−1)²-3-(-1)+a=0
よって α=-4
このとき, 方程式は(x+1)(x-4)=0となり, 2重解をもつ。
[2] 2次方程式x2-3x+α=0が重解をもつとき, 判別式Dについて
D=(-3)²-44=0
よってa=1
このとき, 方程式は(x+1)(x-2)=0となり,2重解をもつ。
解答 方程式を変形すると
練習 74
a は実数とする。 3次方程式x-ax2+2ax-80が2重解をも
つとき,定数aの値を求めよ。
発展 3次方程式の解と係数の関係
① 3次方程式の解と係数の関係
3次方程式 ax+bx2+cx+d=0の3つの解をα, β, y とすると
① 因数分解
ax3+bx2+cx+d=a(x-2)(x-β)(x-y)
② 解と係数の関係 α+β+y=-- aB+By+ya=co, aby=-
=_d
a
参考
P(x)=ax+bx+cx+d とすると, x = α, β,yが方程式P(x)=0の
3つの解であるから, kを定数とすると、 次の等式が成り立つ。
ax+bx2+cx+d=k(x-a)(x-β)(x-y)
両辺のxの項の係数を比較すると k=a よって, ① が得られる。
① の右辺を展開すると
b
a'
ax²+bx+cx+d=ax-a(a+β+y)x2+α(aB+By+ya) x-aaßy
この両辺の各項の係数を比較すると
b=-a(a+β+y), c=a(aB+By+ya), d=-aaby
したがって ② が得られる。
第2章 複素数と方程式
73
1-3i が解であるから
(1-3i)³+a(1-3i)²+b(1-3i)-20=0
整理して (8a+6-46) -3(2a+6-6)i=0
a b は実数であるから, -8a+b-46,
2a+b-6 は実数である。
よって
-8a+b-46=0,
これを解くと
x³-4x²+14x-20=0
左辺を因数分解すると (x-2)(x-2x+10) = 0
x=2, 1±3
このとき, 方程式は
したがって
a=-4, b=14
2a+b-6=0
よって、他の解は
2, 1+3i
別解 実数を係数とする3次方程式が虚数解1-3i
をもつから, 共役な複素数 1 +3iもこの方程式
の解である。
したがって, 方程式の左辺 x3+ax^2+bx-20 は
{x-(1-3i)){x-(1+3i)) すなわち x22x+10
で割り切れる。
74
x +(a+2)
x2-2x+10) x3+ax²+
x32x2+
よって
これを解くと
bx-
10x
20
(a+2)x2+(b-10)x-
20
(a+2)x2−2(a+2)x+10 (+2) (火)
(2a+b-6)x-10a-40
上の割り算における余りが0になるから
(2a+b-6)x-10-40=0
2a+b-6=0, -10a-40=0
a=-4, b=14
このとき, 方程式は (x-2)(x2-2x+10) = 0
したがって
x=2, 1±3i
1
よって,他の解は 2,1+3i
解答編
したがって, 方程式は(x2)=0 となり,
3重解をもつ。
[2] ①が重解をもつとき
①の判別式は
(1)
x3-ax2+2ax-8
=-(x2-2x)a+ x3-8
=-x(x-2)+(x-2)(x+2x+4
=(x-2)(−ax+x²+2x+4 )
=(x-2)(x²+(2-a)x+4)=k
よって, 方程式は (x-2){x+(2-a)x+4)=0
ゆえに
x-2=0
D=(2-a)²-4-1-4-a²-4a-12
=(a+2)(a-6)
D=0であるから (a+2)(a-60
よって
a=-2,6
=6のときは [1] から不適。
a=-2のとき, ① は
75 (1) 3次方程式の解と係数の関係から
a+β+r=-- 2²=2,
または x2+(2-a)x+4=0 ...... ①
与えられた方程式が2重解をもつとき, 次の
2つの場合が考えられる。
[1] x=2が①の解であるとき
22+(2-a) ・2+4= 0
よって a=60A IRAJ
このとき, ①は (x-2)20
(x+2)²010
したがって, 方程式は (x-2)(x+2)^²=0 とな
り, 2重解をもつから適する。
以上から a=-2
aβ+βr+ra=11=5,
=-=-3
afr=-
(2) a²+B2+y²=(a+β+r)^2-2aβ+βr+ra)
=22-2.5
=-6
(3) 3 +83+73
(4)
=(a+B+r){a²+B2+y²-(aβ+βr+ra)}
=2-{(-6)-5)+3・(−3)+
=-31
-19
1111
α Br
=-3-5+2-1
数学Ⅱ基本練習
+3αßr
Br+ra+aß a+by+ya
aßr
aßr
5 5
-3 3
(5) (α-1)(β−1)(y-1)
= aβr-(aβ+βr+ra)+(a+β+r) -1
=-7
別解 x32x2+5x+3=(x-α)(x-β)(x-r) が
成り立つから,この等式の両辺にx=1 を代入
すると
18
13-2.1 +5.1 +3=(1-α)1-β)(1-y)
よって
(a-1)(β−1)(y-1)=-7
76 (1) OA=|8|=8
(2) AB=17-(-3)=17+3|=|10|=10
(3) AB=|-6-(-9)|=|-6+9|=|3|=3
