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基本
例題
166 放物線の頂点が描く曲線など
491
00000
(1) 放物線y=x2-2(t+1)x+22-tの頂点は, tの値が変化するとき どんな
曲線を描くか。
(2)=の間を点P(x, y)が動くとき,座標が (y-x, 2xy) で
19表される点Qはある円の周上を動く。 その円の中心の座標と半径を求めよ。
解答
指針
88A
260
p.488 基本事項 2
(1) まず, 放物線の方程式を基本形y=a(x-p)'+αに直す。 頂点の座標を (x,y)
とすると,x=(tの式),y= (tの式) と表される。 x=(tの式),y=(tの式)から変
数を消去して,x,yの関係式を導く。
(2)円の媒介変数表示 x=rcos 0, y=rsin0 を利用すると, 点Qの座標
(X, Y) も0で表される。 この媒介変数表示からX,Yの関係式を導く。
方がある。
CHART 媒介変数 消去して,x,yだけの式へ
(1) y=x2-2(t+1)x+2t2-t
={x2-2(t+1)x+(t+1)^(t+1)^+22_003)
Fa)
={x-(t+1)}'+t2-3t-1
(2000)x(ie 9
t=0
[=]
よって, 放物線の頂点の座標を(x,y) とすると
①, y=t-3t-1・
e
x=t+1
......
②
①から t=x-1の公式
これを②に代入して
左量よって
2006-)=
tan
y=(x-1)2-3(x-1)-1
y=x25x+3
2009(0)
243
-1-
0-3
13
y=x2-5x+3
4
章
2媒介変数表示
したがって,頂点は放物線y=x-5x+3を描く。
(2)x2+ye=re から, P(x, y) とすると
tの値がすべての実数値を
X.0 200-
サイクx=rcos 0, y=rsin0 と表される。 Q(X, Y) とすると
a) X=y²x²= r² (sin²0-cos²0) 200
るとき、モー(cos20-sin20)=cos2000mi
D
D
とると,①のxの値もす
べての実数値をとり頂点
は放物線y=x25x +3 全
体を動く。
Y=2xy=2rcose.rsin0=resin 20
X2+Y2=r*(cos'20+sin220)=r‘=(r2)2
よって ・位置
ゆえに点Qは点 (0, 0) を中心とする半径の円の
にきたとき、Plex,y)とする
周上を動く。
参考
する。更に、
X, Y=Ocos A,
->
0口 sin△の形
sin △+cos △=1 の活
用を考えてみる。
のとき,点Pは円x2+y'="上を半周,点Qはx+y2=(r2)2上を1周
2πのとき,点Pは残りの半円上を動き,点Qは円上をもう1周する。
Aniacosx>00000
osino),y=a(1-cost) (Jすることはできない。
22>0
変化するとき,どんな
