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O 94
第6章 微分法と積分法
□ 419 2 つの曲線 y=x2+2, y=x2+αx+3 の交点をPとする。Pにおけるそれぞ
れの曲線の接線が垂直であるとき, 定数 α の値を求めよ。
*418 (1) 曲線 y=x'+αx+1 が直線 y=2x-1に接するとき, 定数a の値を求めよ。
(2)曲線xxと放物線x+bx+16は、ともにある点P を通り,Pに
おいて共通の接線をもつ。このとき,定数αの値と接線の方程式を求めよ。
指針
2つの曲線 y=f(x)、y=g(x)がある点Pにおいて共通の接線をもつとき,
PO
とすると,
座標とすると
解答 f(x)=x+x+ax.g(x)=x^2 とすると f'(x)=3x'+2x+α, g'(x)=2x
ともにPを通るf(t)=g(p) 共通の接線をもつ→f'(p)=g'(p
接線の方程
-a)
42
....... ①
から
2
点Pのx座標を とおく。
2つの曲線はともにPを通るから
**65 p²+p²+ap = p²-2
また、Pにおける2つの曲線の接線の傾きが一致するから f(p)=g'(p)
よって a=-3p...... ②
f(p)=g(p)
よって +ap+2=0
...... ①
1=0
であるから
すなわち 3p²+2p+a=2p
これを①に代入すると
p=1
+(-3p-p+2=0 すなわち がー1=0
これを②に代入すると α=-3 圈
は実数であるから
また,Pの座標はg(1)= -1 より (11) であり, g'(1)=2 であるから
すなわち y=2x-3
求める接線の方程式は y-(-1)=2(x-1)
a=-1
A.1)
2b
=3x+4
h
□ 417 曲線 y=25-4x+3 上の点A(0, 3) を通り、点Aにおける曲線の
例題
な直線の方程式を求めよ。
曲線 y=x'+x+αx と放物線y=x-2 は, ともにある点Pを通り
Pにおいて共通の接線をもつ。このとき、定数の値と接線の有権
を求めよ。
1-a2+3
0
1.3
ゆえに
(-1.5)
y=3x+2
(3,9)
y=5x-6
とすると, 接線
P+6=9
(2) f(x)=x+x2, g(x)=x2+ax+16 とすると
f'(x)=3x2+2x, g'(x)=2x+α
は
400
2つの曲線はともにPを通るから f(p)=g(p)
すなわち p3+p²= p²+ap+16
(-3, -6)
は
よって
=(x+3)
また,Pにおける2つの曲線の接線の傾きが一
致するから f'(p)=g'(p)
~21
すなわち
3p2+2p=2p+a
420 2つの曲線 y=x^, y=-(x-2)2 の共通接線の方程式を求めよ。
ゆえに
a=3p2 ...... ②
③から
y=-8
m=
したがって, 求める直線の方程式は
すなわち
-311(x-0)
1=1/2x+3
y=
418(1) f(x)=x^2+ax+1とおくと
'(x)=3x2+α
接点をPとし、そのx座標をおく。
曲線 y=f(x) 直線 y=2x-1はともにPを通
るから
すなわち
f(p)=2p-1
p+ap+1=2p-1 ...... ①
また、Pにおける曲線 y=f(x)の接線の傾きが
2であるからf'(p)=2
すなわち
これより
3p2+a=2
.......
②
a=2-3p²
これを①に代入すると
p3+(2-3p2p+1=2p-1
整理すると
p=1
pは実数であるから p=1
これを②に代入すると a=-1
点Pのx座標を とおく
p-ap-16=0 ...... ①
解答編123
であるから f'pig(p)=-1
すなわち
よって
22p+α)=-1
4p2 +2ap=1… ②
①を②に代入して
よって
4p2+2(-1)=-1
①から 1/2のとき
=
4
ゆえに
a=-2,
D=
のとき
a=2
したがって
a=12
420
p=
問題418 (2) とは異なり、2つの曲線が同じ点
を共有し, その点で共通の接線をもっている
わけではないことに注意する。
それぞれの接線の接点の座標を別の文字で
おいて, 方程式を考える。
y=xから
y=2x
y=(x-2)^=-x+4x4から
y=-2x+4=-2x2)
曲線 y=x² 上の点(a, における接線の方程式
すなわち
y-a²=2a1-a
y=2ax-a² ①
また、曲線 y=(x-2)上の点(8, 18-212)
における接線の方程式は
y+(3-2)=-23-211-3)
すなわち y=-28-2x+82-4 ...... 2
①,②が一致するとき
2a -218-2) 3
-a²=82-4
8=2-a
......④
数学Ⅱ
STEP A・B、発展問題
2-30
56
t2-2
は
すなわち
発展問題
これを①に代入すると
は実数であるから
p3-3p2.p-16=0
これを
に代入して
-a²=(2-a)²-4
p+8=0
a²-2a=0
p=-2
これを②に代入すると12
421 曲線 y=x+3x2+6x-10 上の点における接線の
この曲線と接点以外に共有点をもたないこ
防程式の
傾きが最小の
求める接線の方程式は
また,Pの座標はf(-2)=-4より (-2,-4)
であり、f'(-2)=8 であるから
よって
これを解いて a=0.2
ゆえに、求める共通接線の方程式は、 ① から
α=0のとき y = 0
すなわち y=8x+ 12
17 (参考) 曲線上の点Aを通り, その曲線の
の点Aにおける法線という。
■ 曲線 y=x2 上の点(α, α) に
(B, (B-2)2)における
である
y-(-4)=8(x-(-2))
419 f(x) =x2+2, g(x)=x2+ax+3 とおくと
f'(x)=2x, g'(x)=2x+a
Pのx座標をとおく。
2つの曲線はともにPを通るから
すなわち
よって
2+2=p2+ap+3
ap=-1 ... ①
すなわち
(p)=g(p)
これが曲線 y=(x-2)にも接するとき,
方程式 2ax-a²=-(x-2)²
また,Pにおけるそれぞれの曲線の接線が垂直
すなわち +2a-2)x²+4=0... ①
は重解をもつ。
①の判別式をDとすると
α=2のとき y=4x-4
[別解 y=x^から
y=2x
は
y-a²=2a(x-a)
y=2ax-a²
曲線 y=x上の点(α)における接線の方程式
