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72次関数の最大・最小/定義域が一定区間
αを定数とする. 2次関数y='ー2ax+3の0≦x≦2における最大値 M (α) を, 最小値をm(a)
とする.M(a), m (α) を求めよ. またM(α) -m (a) の最小値を求めよ.
( 類 摂南大)
v=d(x-p2qのグラフ
m
2
平方完成 2次関数の値の変化の様子をとらえるには,
y=d(エーp)2+qの形 (平方完成) にすることが絶対的であって
(ェが1か所にしか登場しないので, 関数値の変化の様子がよく
分かるようになる), 関数値は
1/4
d>0
d<0....... |ーカが大きいほど小さくなる
d0.......が大きいほど大きくなる
というように変化することが分かる.
d<0
g--
9
0 P
x 70 P
最大・最小 下に凸 (2次の係数が正) の場合、区間α ≦x≦ β における最大・最小は下のよう.
v=f(x)
最大はこれらを使って
① (軸)
(軸)
②
③ ④
最小
最大
(6)
最小
最小
最大
最大:
最大:
Ü v v Û Û Û Ü
け
f=
fla
05
a
0
x
α Bx
x
a B
α
B x a B
x
最小はこれらを使って
区間の中点
最小値は, 対称軸が区間内であれば頂点の座標 (上図②), なければ対称軸に近い方の端点のy座標
である (1, 3). 最大値は, 対称軸から遠い方の端点のy座標, つまり対称軸が区間の中点より左側に
あればf (B) (④, ⑤), 右側にあればf (α) (⑥ ⑦) である.
+B
2
■解
fl:
グラン
解答
f(x) =ュー2ax+3 ア とおくと, f(x) = (x-α) -α+3であるから,
y=f(x)のグラフは下に凸で,軸はx=αである.
区間 0≦x≦2 における最大値は, 区間の中点がx=1であることから,
a≦1 のとき,M(α)=f(2)=-4a+7 (アに代入した)
1≦a のとき,M(α)=f(0)=3
また, 0≦x≦2における最小値は, 軸が区間に入るかどうかに着目して
0≦a≦2のとき, m(α)=f(a)=-α2+3
[注] M(α), m (α) はαで表され
ることから,M (α) -m (α) は a
の関数と見ることができる.
軸と区間の中点の位置関係で場
合分けする(上図 ④と⑤のケース
と, ⑥と⑦のケースとで場合分
け)。
上図の② ①③で場合分けする.
つぎ
ここ
b
a<0 のとき,m(a)=f(0)=3
2<a
のとき, m(α)=f(2)=-4a+7
以上からM (α), m(a), M(α) -m (α) は次のようになる.
直線
b=-4a+4
であ
よ
■m (α) の場合分
[0≤a≤2
図 1
直線
b=44-4
けは,a≦0
12≦a
a
M(a) m(a) M(a)-m(a)
a<0
0≤a≤1
-4a+7
3
-4a+7 -a²+3
-4a+4
(a-2)²
1≤a≤2
2<a
3
3
-a²+3
-4a+7
a²
4a-4
b=a2
b=(a-2)2
0
2
a
としてもよい。
境界のα=0, 2
では2つの
m(α) の式で通
用し、 同じにな
るかでミスを
チェックできる.
b=M(a)-m(a) のグラフは右図のようになるから, α=1のとき最小値1
07 演習題 (解答は p.56)
a を実数とする.y=a(x-a)+1の-1≦x≦2における最大値Mを求めよ。
(愛知医大・看護)の符号にも注意する。
