例題 157 空間図形の計量
1辺の長さが2である正四面体 ABCD において,辺
BCの中点を M, ∠AMD = 0 とするとき,次のも
のを求めよ。
(1) cose
(2) 正四面体 ABCDの体積V
(3) 正四面体 ABCD の外接球の半径R
(4) 正四面体 ABCD の内接球の半径r
思考プロセス
次元を下げる
底面高さ
3
(2) V = × ABCD XAH
Hはどの位置にあるか?
(3) 立体のまま考えるのは難しい。
B
M
★★★
外接球の中心0が含まれる三角形を抜き出して考える。
Action» 空間図形は、対称面の切り口を考えよ
B
MH
(4)
四面体の
09
内接球の
半径の求め方
三角形の
類推
内接円の
半径の求め方
解 (1) △ABC, ABCD は 1辺の長さ2の
正三角形であるから0
CA
2
AM=√√3,DM=√3
AMD において,余弦定理により
60°
B
(3)+(√3)-2
M
D
M
H
√3
AM+DM-AD
2.3.3
3
cost=
(2)AB = AC=AD = 2 より, 頂点Aから底面 BCD に
垂線AH を下ろすと, 点Hは△BCD の外心である。
よって, 点Hは線分 MD 上にあり
AH = AMsin0=AM√1-cos20
AH 1 MD
2-AM-DM
AACH=AADH
より BH = CH = DH
よって, 点Hは正三角形
BCD の外心であるから、
H は BC の垂直二等分線
上にある。
AABH
280
==
3
3
sin60°). 2√6
よって V =
.2.2.sin60°
3 2
3
(3)正四面体に外接する球の中心を0とすると,
1
V =
・△BCD・AH
3
2√2
また
=
3
ABCD
1
BC-CD sin BCD
2
OB = OC = OD より 点0から底面 BCD に垂線 OS を
下ろすと,点Sも ABCD の外心となる。
(2)より,点HはABCDの外心であるから,点は線分
AH 上にある。
AOBS = AOCS=AODS
|より BS CS DS
点と点Sは一致する。