この問題解ける方いませんか…？

次の1から4までの問題をすべて解答せよ. 1 以下の問いに答えよ. n² - 2n-3 (1) an= -3n²+1 1-n (1) A1= 1 とする. lim an = -- を 論法によって証明せよ. 3 84x (2) an = 2+√n (3) 次の各性質をみたす数列の例をあげよ. とする. lim an =-∞ を 論法によって証明せよ. E n→∞ (a) {an}, {bn} はともに発散するが, {an+bn}は収束する (b){an},{bn}はともに収束するが, は発散する an bn (c) {an} は発散するが, {an} は収束する 2 次の集合の上限・下限・最大値・最小値を求めよ.ただし, 答えのみでよい. -{"=¹ | n=N} (2) A2= {mitm_mnes} mnEN n (4) A4 = {x ∈ Q|x²-2-1 < 0} m (3) A3= + (−1)n+1¹ m, ne neN} n 3 ③a> を定数とする. 数列 {an} を a1 = α, an+1 = V2an + 3 (n ∈N)によって定義す 3 2 る. このとき, {an} が収束することを示し, lim an を求めよ. ただし, {an} の収束性を示す際, n→∞ 「講義スライドの定理 2.7 (有界単調数列の収束)」 または 「教科書第1章定理3 (p.6)」 を用い ること.また, lim an を求める際, 関数 v2 +3 の連続性を用いてよいものとする. n→∞ ※ 「- <a <3」, 「a = 3」, 「a> 3」 と場合分けして議論してみよ) an+1 4④4{an}はan>0 (VEN) および lim =rをみたすものとする. 以下の問いに答えよ. n→∞ an (1) r <1のとき lim an = 0 が成り立つことを示せ . n→∞ (※r+e < 1 をみたす > 0 を1つとって議論してみよ) (2)r>1 のとき lim an = +∞ が成り立つことを示せ . n→∞ (※r-e> 1 をみたす > 0を1つとって議論してみよ)

微積の問題です。写真の3問とも解き方がわからないので、至急教えていただけますか？よろしくお願いします！

課題 4.1. 区間 l= (-1,1/2) 上で関数 f(x) = (Sin-'z)を考える。 Sup』e f(r) および infer f(r) を求めよ。 課題 4.2.a」 = 1/2, an+1 = aで定まる実数列(a,)n2が有界かつ単 調であることを示し、極限 lim8 4n を求めよ。 課題 4.3. 開区間 (0, 1) 上の関数 f(x) = sin(x/x) は(0, 1) 上連続であ るが一様連続でないことを示せ。

この例題の上手い 証明のやり方を教えてください ノートに書いてある ことだと上手く説明出来ず困ってます

例3 an=nとすると,数列{an}は有界数列ではない。 1 例4 an=1+(-1)*+1L とおくと 0SanS2であるから, {an} は有界な数列 n である。 よ

上極限・下極限について 3番の証明の仕方を教えて欲しいです!!

3。(p.69, 問題2.7.2, 2.7.3) {a,}, {b,} は有界数列として、次の不等式を証明せよ。 lim, to an + lim,→nS lim,→o(an+ bn) < lim,→ an + lim,→o bn. 4。(p.71,例 2.28) は収束することを示せ。 n=1

問2がわかりません。 単関数s(x)＝c_i(x_i-1＜ｘ＜x_i　i=1,2…n) 　　　　　　0(ｘ＜x_0,x>x_n)

11 §1.1 単関数とその積積分 -5 た,(ii)でt=0 とおけば, (i). (III)(積分の有界性)||s|| = max |s(z)| とおくと, US 95ェラp 主際、直接確かめればよいが,不等式 - ||| ハ s(a) ハ =s覧 を用いて(II)の (TV)(積分区間に関する加法性)a<c<bのとき, ロ これは明らか、 ロ 例1.5 α>0, 0<r<1, nを自然数として, (pe <aミpe-1, k=1,2,…,nのとき) (0ハaハ言のとき) D のとき, I(s,n,[0,1]) = Erot (re-1 _ph) = J-I Er(l+a)k u k=1 k=1 d ロ に近づき, さらに, r→1 とす 0+14-I なお, この値はn→8のとき, po(1-r) 1-r1+a ると, =da に近づく。 I 0+1 問1 I(t,n, [0,1]) を求め, n→co, r→1 の極限を調べよ. ただし, (<aハポ-1, k=1,2,…,nのとき) (0eハちのとき) palk-1) ran 問2 ||r"-s,nl|= max |z"-s,n(z)| とおくとき, |"- S,n|| = max{1-,プ} X であることを示せ。

　リヤプノフ関数を用いた微分方程式系の安定性解析について勉強をしています。 写真の問題のうち、問23.1の(1)及び問23.2の(3)の解き方が分からないので教えて頂けますと幸いです。原点が中心、半径がルート3の円が不変集合になる理由も併せてお願い頂けるとありがたいです。よ... 続きを読む

23. リヤプノフ関数と安定性* 108 間 23.2 微分方程式系 dy =ーC dt (12) da =リー(=/3-2), (μ は負定数) dt について,次の間いに答えよ。 (1) V(r,g) = (z° +y°)/2 とする. このとき V12) (z,4) を求めよ。 (Ans. -μ(z°/3 -1)a?) (2) (12) の平衡点 (0,0) は安定であることを示せ。 (3) [研究] 点 (o,Yo) が (2o)? + (yo)? <3 を満たすとする. このとき, (zo,10) を通る解はt→8とすると (0,0) に収束することを示せ。 (ヒント. E={(0,9) : -0 <y < 8} であることに注意し, LaSalle の不変原理 と呼ばれる結果(下記参照) を適用する.) 【参考) RT 内の集合 Mは, 任意の co E Mに対し, zoを通る (2) の解が常に M に留まるな らば (2) に対する不変集合と呼ばれる。 LaSalle の不変原理 V(z) (zE S) は (2) のリヤプノフ関数とする. このとき, S 内に留まる(2) の有界解は, t→ o とするとき E:={ueS:Vg)(z) =D 0} に含まれ る(2) の最大不変集合に近づく

L:距離空間(S,d)の部分集合 「∃a∈S,∃r>0,L⊂B(a,r)」⇔「∃β∈ℝ,∀x,y∈L,d(x,y)≦β」 を示してください。ただし、B(a,r)は、中心a,半径rの開球体を表します。

この問題の解き方を教えて欲しいです。お願いします。

[0,1] 上の実数値連続関数fとnENに対し 2"-1 k 1 R,:=と()2 k=0 とおく。 さらに,n<mなる n, m€ N, k = 0,1, , 2" - 1に対し 2m-n-1 1 2m k と()- Dn,m,k:= 27 2m 1=0 とおく。 2"-1 1.> Dn,m.k = R, - Rm であることを示せ、 k=0 2.実数列(R,)oがコーシー列であることを示せ、(有界閉区間上の連続関数が一様連続である ことを用いてよい。)

非有界な関数f:[0,1)→Rの例を1つ教えて下さい。

波線の意味がよくわからないので教えてください。

1より小さいn個の正数の職 ☆のkが定数でないと 簡単には解くことのできない2項間の漸化式 an+1=f(am)の極限値を のた、前問のように視覚に頼らないとすれば、2つの方法があってここで 第1の方法を紹介しよう、(次の 5. が第2の方法) であることを Z+1-as(z,-a) 3 2n 2n-1.2n-2 2n+1 2n 2n-1 n+1 は で、n→ 0のとき ます, 3. の方法などにより極限値αを予想し,与えられた漸化式から Tan+1-alskla,-al. kは0sk<1である定数 2n+1 は収束しない(1/2 に収束) 考えると,☆のe は“定新 いと,an→a(n→ )と できない。 ■入試では 本間のように,とりあえも の形の不等式を導く. すると, 0Sla,-alS"-1リa-al an→a(n→ 8) であるから,はさみうちの原理により, la,-al0 【解答) 等式を証明させる問題が 『If(z)|の最大値をMと a=f(a)によって定める。 値の定理により、 a>1 により,Z」=azVa また,あきらかに Z>0であるから,相加·相乗平均の不等式により, a -=Va a Te+1= If (a,)-f(a)|<M\a よって,つねにZ,w{aである. 次に, 2 Ei, t :. lan+1-aSMIla,- という流れの問題も少なく ちろん, M<1を示すこと トになる。 2 a In 3 エa+」ーa(-) 32,2 3 1 a 3 3エn であるから,確かに ~が成り立つ。この~~を繰り返し使うことにより, 2 \n-1 0Sエ,-as 3 よって,はさみうちの原理により, lim(z,-Va)=0 .:. limz,=a n→0 n→0 X 5. 解けない漸化式と極限(2) 漸化式a,=2, 2an+1Qn=a,?+2 (n=1, 2, …) で定められる数列 {a,} を考える。 (1) an2V2, an+1Sa, (n=1, 2, …) を示せ。 (2) lima,=V2 を示せ れーO 【Point】前問のPoint の☆のkは, anニ¥2 を示したあと, a+2-2/2a,_aュー 「教科書にはないが 左の定理は教科書に ,-12 20m によってk=1/2ならよいことがわかるが, kが与えられていないときは, 単調で有界な数列は収束する (rp.24) という定理に目を向けよう. an+1=f(an)で定める数列 {a,} が収束することか 覚的に明らかなので, ても減点されることに an+1-V2= 2a。 ■前問の傍注の手法 2 エ+ いえたなら, その極限値αはα=f(α) をみたすことから, αを具体的に求める について,げ(エバー ことができる。 【解答】(1) 明らかに a,>0 (n=1, 2, …) であるから, はうより小さいの an 1 an 1 an+1= 2 =(2 2 : a,22 (n=2, 3, …) an an 84