3項間漸化式の応用
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放物線y=x2をCとする. C上に相異なる点P(a1,a²), P2 (az, a2²2),
Pn(an, an²),
があって,各n=1,2,… に対し, Pn+2 におけるCの
|接線の傾きがPnとP1 を結ぶ直線の傾きに等しい.
(1) an+2 を an と an+1 の式で表せ.
(2)n=1,2,
ことを示せ .
| (3) a1=a, az= 6 として, an を a と b n を使って表せ.
精講
に対し bn=an+1-an とおく.数列{bn}は等比数列である
(1),(2)の誘導に従って進んでいけば,解法のプロセス
(3) では階差の公式
(1)(接線の傾き)
n-1
an=a₁+Σbk (n≥2)
an+2=
により、一般項an を求めることができます.
問140で触れたように,3項間漸化式は2通
りの等比数列に変形することができます.この手
の解法も考えられます (- 研究参照).
k=1
2
(2) (1) の両辺から an +1
an+2an+1 =
(1) C:y=x^2 よりy'=2x
P+2(an+2, an+22) におけるCの接線の傾きがPn (an, an²) と
Pn+1 (an+1, an+12) を結ぶ直線の傾きに等しいから
y4
an+12-an2
2an+2=
..2an+2=an+1+an
an+1-an
Jan+1+an
をひくと
解答
an+1+an
2
an+1=
1-(an+1-an)
よって, bn=an+1- an とおくと, 数列{bn} は公比
-
(3)数列{bn} は初項b1=a2-a=b-a,公比
bn=an+1—an=(b—a)(−¹)″-¹
(2) 等比数列に変形
↓
(3) 一般項を求める
323
(直線PmPn+1の傾き)
↓
3項間漸化式
2
( 広島県立大 )
2
P+12
AP+2
PL
O an an+2 an+1 X
の等比数列である.
TUE
の等比数列であるから
