-
![]()
-
![]()
高の歩動の指対試こな
2 対
め
①
Z
ステージ3 入試実戦編 場合の数
本ITEM からは, 「法則」 の活用がメインとなります。 まずは, 「含む」とか「ある
か、一見明確な表現について考えます.
ここが 「含む」=「少なくとも1つある｣ →補集合を利用
6/3×
桁の自然数を作
例題33 1,2,3,4,5の5種類の数字を並べて n
るとき、次の問いに禁えば何があるかじ数字を繰り返し用いてもよいとす。
(1)
(2) 数字 1,2をどちらも含む自然数は何個あるか.
着眼)
(3) 数字 1,2,3を全て含む自然数は何個あるか.
2/16 (2)(3)×カルノ回使う必等以
(1) 含まれる数字1の個数は, 次のうちどれかです。
全体像を視
0 1,2, 3...,n
求めやすい
求めたい
olan
i
これを見れば、問われている ｢1を含む」には多くの場合があって面倒であり,
含まない」の方が考えやすいことが一目瞭然」 ここは「補集合｣ を活用しましょう。
(2) (1) で得た着眼をもとに, 「包除原理」 を適用しましょう. 2つの集合A,Bが関
する問題ですから,「カルノー図｣を用いて視覚化します。
(3) こちらは3つの集合 4, B, C ですから「包除原理」+「ベン図」で.ただし...
解答作られる自然数の総数は5.… (*) (右図参照)1桁目 2桁目
また,それらから作られる3つの集合|||||
A: 「1を含む」, B: ｢2を含む｣ C: 「3を含む」 1
を考える.
2
(1) Aの補集合は
A: 「1を含まない」, i.e. 「n 桁が全て 2, 3, 4, 5」.
: n(A)=4".
○これと (*) より 求める個数は
n(A)=5"-n(A)=5"-4".
(2) 求める個数はn (A∩B) である.
○B: 「2を含まない」, i.e. 「n 桁が全て 1,3,4,5」,
ANB: 「1,2を含まない」 i.e. 「n桁が全て 3, 4, 5」.
.. n(A∩B)=3".
○これらと (*) より 求める個数は
n(A∩B)=5"-(4"+4-3") …①
=5"-2.4"+3".
91
CHIRUPA
求めたい
A
A
カルノー図で
B
3
¥
5
B
・求めやすい
(③3) ○求める個数は(A∩BC)である。
(2)までと同様にして
n(A)=n(B)=n(C)=4".
n(ANB)=n(BNC)=n(CNA)=3",
ANBOT: 「1,2,3を含まない」
ie. 「n 桁が全て 4.5」
.. n(ANBNC)=2".
これらと①より、求める個数は
。
n(ANBNC)=5n-(4+4+4"-3"-3"-3"+2") -
解説 ① ② で用いた公式を集合記号を用いて書くと、次のようになります｡ (作られる
自然数全体の集合を表します.
① :n(A∩B)=n(Un (A∩B)-
=n(U) -n (AUB) 除原理
.
ド・モルガンの法則
② : n (ANBNC) =n(U) -n (ANBNC)-
確率では事象
(U)-{n(A)+n (B)-n (A∩B)).
=n(U)-n(AUBUC)L
=n(U)-{n(A) + n(B)+n(C)
ド モルガンの法則
ラ包除原理
-n(ANB)-n(BNC)-n(CNA)+ n(ANBNC)).
①ならまだしも,②をマジメに書くとそれだけで疲れちゃいますから、解答のよう
にイキナリ数値を書きましょう. そもそも、 上記等式を“公式”として覚えて使ってい
るというより, (2) のカルノー図や (3) のベン図を見ながら個数を過不足なく数えてい
注意1 ITEM 22 でも書いたように、ベン図を用いる際には、“本質的な集合”, つま
るという感覚でいて欲しいものです。
り個数を求めやすい集合が輪の内側になるように描かなければなりません。 本間で求
めやすいのはA,B,C の方ですね。なので解答のような描き方になったわけです。
重要 再確認しておきましょう.
ベン図を書く人にも工夫
集合の名称
2つの集合絡んだら, 名前を付けてカルノー図
3つの事象ではベン図.ただし輪の内側が求めやすいように.
注意2 本間では ITEM 6 注意でお見せした“主役脇役ダブルカウント”という有名な誤答
をする人が多いので注意すること.
A TAATETER.
ステージ3 入試実戦編 場合の数
95 → 5.19
類題 33
8/3×
100から999の3桁の整数の中で、 3つの位の中に2の倍数と3の倍数の両方を含むもの
の数を求めよ.0=20より0は2の倍数同様に,0は3の倍数)
( 解答解答編p.11)
