2次方程式 x2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように, 定数
値の範囲を定めよ。
(1) 2つの解がともに1より大きい。
(2) 1つの解は3より大きく. 他の解は3より小さい。
指針
2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとする。
(1)2つの解がともに1より大きい。 → α-1>0 かつβ-1> 0
p.87 基本事項 2
(2)1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。 →α-3とβ-3が異符号
以上のように考えると,例題 51 と同じようにして解くことができる。 なお,グラフを
利用する解法 (p.87 の解説) もある。 これについては、 解答副文の別解 参照。
2次方程式 x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとし, 判別解 2次関数
解答 別式をDとする。
D ==(− p)² - (p+2)= p²-p-2=(p+1)(p-2)
4
解と係数の関係から
α+B=2p,aß=p+2
(xax1, B>1であるための条件は
D≧(かつ(α-1)+(β-1)>0 かつ (α-1) (B-1)>0
D≧0から
よって
(p+1)(p-2)≥0
f(x)=x2-2px+p+2
のグラフを利用する。
(1) 12/1=(p+1)(p-2)20,
軸について x=p>1,
f(1)=3-p>0
から 2≦p<3
YA
x=py=f(x)
p≦-1,2≦p
①
(α-1)+(β−1)>0 すなわち α+β-2>0 から
2p-2>0
よって
>1
......
(α-1)(B-1)>0 すなわち αβ-(a+β)+1>0 から
よって
p+2-2p+1>0
p<3. ③
求める』の値の範囲は, 1, 2,
③の共通範囲をとって
A
-1
1
2 3 þ
3-p
+ a P
O 1
2≦p<3
(2) α <β とすると, α <3 <βであるための条件は
(α-3)(β−3) < 0
αβ-3(a+β)+9<0
p+2-3・2p+9 < 0
すなわち
ゆえに
よって
p>.
5
11
B x
(2) f(3)=11-5p<0から
p> 1/13
題意から、α=βはあり
えない。
