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(2.1) 極限
解析学 II 中間試験 試験問題 (平成30年11月27日 (火) 3時限 実施)
注意 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 すべてに解答して下さい。
解答は問題ごとに解答用紙の所定の箇所に記入して下さい。 解答用紙 (両面使用) は合計3枚あります。
すべての解答用紙 (3枚) にクラス, 学籍番号、氏名を記入して提出して下さい。 白紙の解答用紙にもクラス, 学籍番
号 氏名を記入して提出して下さい。
=
[第1問] 関数 g(x,y)
について、以下の問いに解答せよ.
(1.1) g(x,y) , 点 (12) における1次の近似多項式 P1 (x,y) は,
P1(x,y) = e-2 + 4e-2(z-1)-4e-2(y-2) で与えられることを示せ .
以下, (1.1) にて求めた Pi (x,y) を f(x,y) とおく.
(1.2) 点 (x,y)=(1,2) における f(x,y) の勾配 grad f (1,2) を求めよ.
(13) f(x,y) の v = ($n) ∈ R2 方向の (x,y)=(1,2)における方向微分 Duf (12) を求めよ.
ただし ||||=1 とする
(1.4) 関数 g(x,y), f(x,y) のグラフ=g(x,y), z=f(x,y) に関して、点(x,y) = (1,2) を通る
等位曲線をそれぞれ C2, Cf とおく. Cg, Cf の方程式をそれぞれ求めよ.
(15) (14) にて求めた等位曲線 C, Cf と, grad g(1,2) の概形を同一の ry平面に描け ただし、
grad g (1,2) は点 (1,2) をベクトルの始点とすること.
[第2問] 次式で与えられる関数 f(x,y) について, 以下の問いに解答せよ.
22
((x,y) / (0.0) のとき)
/12+12
((x,y)=(0.0) のとき)
中間試験 H39.pdf
f(x,y)=
2
f(x, y) =
0
lim
(x,y) (0.0) <x2+y2
y²
(2.2) 関数 f(x,y) が (x,y)=(0,0) において連続かどうか調べよ.
を調べよ.
[第3問] 次式で与えられる関数f(x,y) について, 以下の問いに解答せよ.
x² + y²
x² + y²
((x,y) / (0.0) のとき)
((x,y) = (00) のとき)
(3.1) 極限に基づく偏微分係数の定義に従って (0,0) を求めよ.
(3.2) 偏導関数 f(x,y) を求めよ.
… 4G
0
完了
[第4問] C2級の関数f(x,y) について以下の問いに答えよ.
(4.1) f(x,y) とz= ecose, y = esine との合成関数f(ecose, esine) に対して0に関す
dz
d²z
ある導関数 および をそれぞれ 0 の関数として求めよ.
do
d02
(4.2) f(x,y) とz=rcosb,y=rsin0 との合成関数z= f(rcos0,rsine) に対しての母に
を,r, 0 の関数としてそれぞれ求めよ.
8²%
az
関する偏導関数 および2階偏導関数
20¹
arae
[第5問] 関数 f(x,y)=√1+2x-yを考える. 以下の問いに解答せよ.
(5.1) 偏導関数 f(x,y), fy (x,y) を求めよ.
(52) 2階偏導関数 f(x,y), fry (x,y), fuy (x,y) をそれぞれ求めよ.
(5.3) 点 (x,y,z)=(1,1,f(1,-1)) における曲面z = f(x,y) の接平面の方程式を求めよ.
(5.4) 点 (x,y) = (1, -1) のまわりでの f (x,y) の2次の近似多項式を求めよ.
Q
[第6問] 関数 f(x,y)=x^-4xy+2y² の極値を調べよ(極値とそのときの (x,y) の値を求める
こと)
....
