16 2次関数
6 最大・最小 (2)
例題 6 2変数関数の最大・最小
[11 関西 ]
(1) 実数x,yが2x+y=8 を満たすとき, x+y-6x の最大値を求めよ。
[09 愛知工業大]
(2) 実数x,yがx-xy+y-y-1=0 を満たすとき,の最大値と最小値を求めよ。
解法へのアプローチ
(1) y を消去すると, xの2次関数の最大・最小の問題になる。 このとき, xの変域に注意する。
(2) xの2次方程式とみなすと, これは実数解をもつ。 この実数条件によってyの値の範囲が定まる。
解答
(1) 2x² + y² = 8 y² = 8−2x² .....
y は実数であるから,y≧0より
8-2x²20
したがって, (x+2)(x-2) ≧0より
2≦x≦2...・・・②
z=x+y6x とおくと,①から
z=x2+ (8-2x2) - 6.x
3y²-4y-4≤0
(3y+2)(y-2) ≤0
// sys2
よって, yの最大値は2,最小値は
T
3
-2
ZA
|17
16
=-x-6x+8
=-(x+3)^2+17
②の範囲でグラフをかくと右の図のようになる。
したがって, zはx=2で最大値 16 をとる。
よって, x=-2, y=0 のとき, 最大値 16
(2) 与式をxで整理して x-yx+(y-y-1)=0
x は実数であるから,実数を係数とするこのxの2次方程式は実数解をもつ。
したがって, その判別式をDとすると
D=(-y)^2-4(y-y-1)≧0
O
2
XC
