例題 11 2次方程式 x2+2mx+6-m=0が,1より大きい異なる2つの解を
もつように, 定数の値の範囲を定めよ。
2つの解をα,β とすると, α,βと1との大小について
指針
解答
α>1 かつ ß>1 ⇔ (α-1)+(β-1)>0 かつ (α-1)(β-1)>0
2次方程式 x2+2mx+6-m=0 の判別式をD, 2つの解をα,βとする。
この2次方程式が異なる2つの実数解をもつための必要十分条件は
D>0
02 ここで
1/21=m²-(6-m)=(m+3)(m-2)
よって
(m+3)(m-2)>0
ゆえに
m<-3, 2<m......①
また, α>1 かつ β>1であるための必要十分条件は
(a-1)+(B-1)>0 かつ (α-1)(B-1)>0
eor
すなわち α+β-2>0 かつ aβ-(a+β) +1 > 0
ここで,解と係数の関係により, α+β=-2m, aβ=6-m であるから
-2-2>0 かつ 6-m-(-2m)+1>0
103
よって
<-1 かつm>-7
すなわち<m<-1
②
①と②の共通範囲を求めて -7<m<-3 答
US OLL
