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る.
で
10/21
8 媒介変数表示 / 接線など
(左ページの例題の続き)
(2) (1)の点P (20-sin0, 2-cose) (0<<2m) における曲線Cの法線と軸との交点を Q
とする. 線分 PQ の長さが最大となるような点Pの座標を求めよ.
(3) 曲線Cと軸, 2直線x=0, x=4πで囲まれた図形をx軸のまわりに回転してできる立体の
体積を求めよ.
サイクロイドでよく出る問題
(お茶の水女子大・理)
サイクロイドなどの曲線では、接線法線, 面積 回転体の体積,
曲線の長さといった設問が多い。 似たような式が出てくるので、このうちのいくつかを実際に計算して
おく、という程度でよいだろう、式の形を一度は見ておこう。
解答
①
P (20-sin0, 2-cos0) を (x, y) とおく.
YA
d.x
dy
する
=2-coso,
-= sin より
(2)
do
de
P
dy
dy/do
sin
C 1+9
このような問題では,
dx
dr
dr/do 2-cos
d=yとなることが多い
2-cos
法線PQの傾きは,
sin
(0)
0
x
4π x
よって, Q(g, 0) とすると, PQの傾きについて
0-y
2-cos
q-x
sin
であり,y=2-cos0 だから g-x=sin0
ナー
) (2)
.::PQ=√sin20+(2-cos0)²=√5-4cos
①PQ=√(q-I)2+y2
=xのときはP(2,3), Q(20) だから PQ3で,このときも①は成り立
①で-1≦cos0 <1なので, ① は cos0=-1 (0=π) のときに最大になり
そのときの点Pの座標は (2π,3)
(3) 求める体積は,
Sydr=y2dd0=√(2-cos0)² (2-cos 0) do
de
10
=x(8-12cosO+6cos20-cos30) d0三r
3
2π
(8+6cos20) do
=xJ"(8+3(1+cos20)}d=x[110+ 2/2sin20"
=22π²
と
(+)
ま
Y = cos のグラフ (下図) から,
cose, cos30 の積分が 0 になるこ
とがわかる。
YA1
π
e
0
27
08 演習題 ( 解答は p.93)
(左ページの演習題の続き)
π
を の範囲で動かしたときのPの軌跡をCとする.
2
(2)Pのy座標が 1/2 のとき,PでのCの接線の傾きを求めよ.
2
(3) Cの長さを求めよ.
(2) まず0を求める
dy
傾き の求め方は例
dx
(群馬大医)
題と同じ
87
