Think
3 漸化式と数学的帰納法
(541)
B1-71
例題 B1.38 漸化式 ant=f(n) an
=1, (n+3) an+1=nan で定義される数列{an}の一般項 α を求めよ.
****
「考え方
解答 1 漸化式は am+1=n
an+1=f(n)amとなる.
n+3
ここで,
第8章
gan と変形できてf(n)=-
n
とおくと,
n+3
これをくり返すと、 ww
an+1=f(n)an=f(n){f(n-1)a,-)=f(n)f(n-1){f(n-2) an-2)
解答 2 漸化式の両辺に (n+2)(n+1)を掛けると,
(n+3)(n+2)(n+1)an+1=(n+2)(n+1)nam となる。
bn=(n+2)(n+1)na とおくと、この式はb+1=b"となる。
an+1=f(n)f(n-1)f(n-2)......f(1)a
1
解答 漸化式を変形して,
n
an+1=
n+zan ......
このとき
1
a2
1+391
4
2
2
a3=
1
2+3°
az=
1
2+3 1+31 10
≧4 のとき,①をくり返し用いると
n-1n2n3n-4
4321
an=
n-l
n+2n+1
n n-1
7637°
ami
-an-l
n+2
?
3
2 1
6
・1
n-1 n-2
n+2n+I-2
n+2n+1n
n(n+1)(n+2)
この式は n=1,2,3のときも成り立つ.
6
a₁ =1
よって、 an=
n(n+1)(n+2)
7レ
