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基本 例題 130 図形と漸化式 (1) ･･･領域の個数
8500000
平面上に、どの3本の直線も1点を共有しない, n本の直線がある。 次の場合、
平面が直線によって分けられる領域の個数をnで表せ。
(1) どの2本の直線も平行でないとき。
(2)n(n≧2) 本の直線の中に, 2本だけ平行なものがあるとき。
指針▷ (1) n=3の場合について,図をかいて考えてみよう。
解答
n
[類 滋賀大]
n=3
1ℓ2
a2=4(図のD1~D4) であるが,ここで直線 l を引くと, ls は
l l と2点で交わり,この2つの交点で l3 は3個の線分また
は半直線に分けられ, 領域は3個(図のDs, De, D7) 増加する。
よって a=a2+3
DS
D₁
D3
D6
D₁
D2
D
|43=7
同様に番目と (n+1) 番目の関係に注目して考える。
n本の直線によって α 個の領域に分けられているとき,(n+1)本目の直線を引くと領
域は何個増えるかを考え, 漸化式を作る。
(2)(n-1) 本の直線が (1) の条件を満たすとき, n本目の直線はどれか1本と平行になる
から (n-2) 個の点で交わり, (n-1) 個の領域が加わる。
(1) 本の直線で平面が αn 個の領域に分けられているとする。
(n+1) 本目の直線を引くと,その直線は他のη本の直線で
(n+1) 個の線分または半直線に分けられ, 領域は (n+1) 個
だけ増加する。 ゆえに an+1=an+n+1
よって
an+1-an=n+1
また a=2)s
数列{az} の階差数列の一般項はn+1であるから, n≧2の
人
(n+1) 番目の直線はn本
の直線のどれとも平行でな
いから,交点はn個。
基本例
ZXPY (=60
PX, PY お。
同様にして
(1)円O㎜の
(2)円Oの
指針 (1)円O
このとき
(2)等比数
CHART 線
解答
右の図のC
OnOn+
OnH=
LOO+1H=30
On On+1
よってrn+rn
ゆえに n+1=-
よって、数列{r
1
rn=
n-1
n2+n+2
とき
an=2+2(k+1)=
k=1
2
n-1
k=1
(+1)=+
これはn=1のときも成り立つ。
= 11 (n-1)n+n-1
(S+
S+2
D
ゆえに、求める領域の個数は
n²+n+2
2
(2)平行な直線のうちの1本をℓとすると, l を除く (n-1)
本は(1)の条件を満たすから,この(n-1) 本の直線で分けら
れる領域の個数は (1) から
an-1
S+S2+...... +
更に、直線 l を引くと, lはこれと平行な1本の直線以外の
直線と (n-2) 個の点で交わり (n-1) 個の領域が増える。
よって, 求める領域の個数は
(1)の結果を利用。
1 は (1) annの
an-i+(n-1)=(n-1)+(n-1)+2
2
+(n-1)=-
n²+n
2
代わりに n-1とおく。
直線 y=ax
軸に垂線 A
更に、点 Az
③ 130 では交わらない n個の円がある。 これらの円によって,平面は何個の部分に分け
平面上に,どの2つの円をとっても互いに交わり,また, 3つ以上の円は同一の点
練習
られるか。
けて、線分
nとする。
(1) In n
(
