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x,
が2つの不等式x-2y+1≦0, x2-6x+2y+3≦0 を満たすとき,
最大値と最小値, およびそのときのx, yの値を求めよ。
の
y-2
x+1
基本122
連立不等式の表す領域Aを図示し,
y-2
x+1
-=kとおいたグラフが領域Aと共有点をも
つようなんの値の範囲を調べる。 この分母を払ったy2=k(x+1)は,点(1,2)
を通り, 傾きがんの直線を表すから,傾きんのとりうる値の範囲を考えればよい。
CHART 分数式
y-b
y-b
最大 最小
=kとおき, 直線として扱う
x-a
x-a
x-2y+1=0. ①, x2-6x+2y+3= 0
解答とする。連立方程式 ①,②を解くと
②
③
(x, y)=(1, 1), (4, 5)
ゆえに、連立不等式 x-2y+1≦0, x2-6x+2y+3≦0 の表
す領域 A は図の斜線部分である。 ただし, 境界線を含む。
y-2
x+1
=kとおくと
10
y-2=k(x+1)
12
2
0
5 2
32
すなわち y=kx+k+2.
......
③は,点P (-1,2)を通り, 傾きがんの直線を表す。
図から, 直線 ③が放物線 ②に第1象限で接するとき,k
の値は最大となる。
② ③ からy を消去して整理すると
x2+2(k-3)x+2k+7=0
このxの2次方程式の判別式をDとすると
k(x+1)-(y-2) = 0 は,
x=-1, y=2のとき
についての恒等式になる。
→kの値に関わらず定
点 (1,2)を通る。
D
=(k-3)²-1-(2k+7)=k²−8k+2
直線 ③ が放物線 ②に接するための条件はD=0であるか
k=4±√14
ら, k-8k+2=0 より
第1象限で接するときのんの値は
4/14k=4+√14 のときは,
このとき、接点の座標は
(√14-1,4√14-12)
第3象限で接する接線と
なる。
次に,図から, 直線 ③ が点 (1, 1) を通るとき,kの値は最
小となる。このとき
k=1=2=123k=メ
277に代入。
よって
1+1
x=√14-1,y=4√14-12 のとき最大値 4-14;
1
x+1
x=1, y=1のとき最小値 -
2
