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[V) PATEICOLE I ZE ST
点にした仕事を求めよ.
【問2】図のように, 一部を切り取った半径 R の円環の左端に,鉛直上方から質量mの
おもり落とし, 円環に沿って滑らせる. 最下点をおもりが通過したときの時刻を t = 0,
速さがuであったとして, 以下の問に答えよ.ただし、 重力加速度の大きさをg, 円
環とおもりの間には摩擦は無いものとする.また, 円環の中心を原点とし, 鉛直下向き
を軸,水平右向きを軸にとることにし.また,回転角0 は,軸から反時計回り
を正の方向として測ることにする.
L
(i) 時刻におけるおもりの回転角が9(t) であったとして,円環上におけるこのおも
りの運動方程式を,円の接線方向と法線方向に分けて書き下せ. (円運動の加速
度については、最後のメモを参照。 作用する力を接線方向と法線方向に分解して
それぞれについて運動方程式を立てよ)
( ) 接線方向の運動方程式の両辺に(t) をかけてから、tについての積分を実行*1することで, é(t) と(t) の関係式を導け.
この際、積分定数は初期条件を満たす様に定める必要があることに注意せよ。
(iii) 力学的エネルギー保存則の成立条件を述べたうえで、この問いについては力学的エネルギー保存則が成立することを
示せ
円環の断面図
1 VO
+
C
N
(iv) 最下点を位置エネルギーの基準点として, 力学的エネルギー保存則の式を書き下し, それが (ii) で求めたものと一致す
ることを示せ.
検索
(v) おもりが角8(t) の位置にあるとき, おもりが円環面より受ける垂直抗力 N を 8(t) を用いて表せ.((ii) の関係式と運動
方程式の法線成分を用いて0(t) は使わないようにせよ)
(vi) No=2√gRのとき, おもりはどの高さまで上がることができるか.最下点からの高さで答えよ.
@
mg
(vii) 「最上点まで, 円環に沿って上がるための の下限を求めよ。」 という問に対して,ある学生が 「最上点においての速
度』がゼロを超えればよい.最下点と最上点で力学的エネルギー保存則を立てて 1/12mg = 1/12m² +2mgR>2mgR.
これより
となる」 のように答えたが,すでに (vi) で見たようにこれは誤りである。 この学生の解答のどこ
2vgR
FUJITSU
に誤りがあるのかを述べたうえで, 正しい解答を与えよ.
メモ: 円運動の加速度
半径Rの円運動をする質点の位置をr= R (cos0i + sin j) のように表すとき (0は時刻のときの中心角), 加速度は
a = RÖ (-sini + cos 0j) - RO² (cos 0i+ sin(j)
と表される.なお, sin Oi + cos dj は円の接線方向の単位ベクトルで, cos di + sin Oj は円の法線方向の単位ベクトル
である.
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