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変数変換を学んだついでに
4.2.7. 変数変換におけるラプラシアンの表示.
: 全単射, C2-級, = -1 とする.
関数 f(x) : D → R, g(s) : UR は f(x)=g(y(z)) = g(s) = f (d(s)) をみたしているとする.
[5]. f(x,y) = √√√x² + y² = r = g(r,0). (**)
of
fi = oni,
dxi ga =
asa
のように書く. 添字の,上下, 文字スタイルで区別がある.
ここでは∇f = (....fi....), ∇sg = (..., ga,...) は行ベクトル .
逆写像のヤコビ行列は
Þ : ((R”, s = (… .., sª,...) > ) U → D ( C (R¹, x = (..., x², ...)))
となる.このとき連鎖律より次の関係式が得られる.
f(x) = g(s(x)) * x³ THALT, fi = Σa ga$iº. & 5K füi = Σa ((Σ3 9aß$?) sº + 9asi).
B
(1) ▽zf = ∇sg.d.同様に∇sg = ∇f.do.
(2) Axf := Σi fü = Σa‚ß Jaß(Vrsª, ▼+$³) + Σa 9aArsª.
2² 8²
Ər² 20²
9回目終わり
例 4.2.8. R2 の極座標でのラプラシアンの表示 重 : UC (R2, (1,0)) → DC (R2, (x,y)), I = 重-1
πr TO
cos
-r sin 0
d =
Yr
yo
sin 0
rcos o
TI Ty
cos o
sin
1 T
dy =
= (d)-1
200
- sine cose) == (-²2)
r
注: r = x2 +¥2,0 = tan
-1 y の微分はしなくても煙は求められる.
I
(1) (fæ, fy) = (gr,90) · dV. (fz, fy) = (gr, ¼90) U, U = (-
特に fz + f = g + /1/129.
注: d では1列+2列 (1 行 ⊥2 行ではない). d では 1行2行 (1列+2列ではない).
8² a2 8² 12 10
+
+
+
əx² 042 Ər² r² 20²
rar
+ はそもそも考えない.
d = (st) at (= (dd) -1): 第α行を ▽ zsa とする行列
lai
(4) A = +
U=
問題. R3 の極座標でのラプラシアンの表示. (x,y,z)=d(r,0,4)= (rsin A cos o, r sin A sin p, rcos E
↓ = Φ-1 とする. (1) d = (dd) を求めよ.
(2) (fx,fu, fz) = (gr, 1,90, sin694) U, Uは直交行列, と書けることを示せ .
cos 0
(3) Ar = ², A0 =
A = 0 を示せ .
r2 sin 0
8² 182
+
Ər-2 2002
/ sin A cos y sin A sin y
cos A cos o cos A sin
- siny
cos
1
2 20
cos a
+
rar r2 sin 000
cos o sin 0
sino cos0
72 sin20042
cos 0
- sin 0
0
は直交行列と書ける.
を示せ.
| .d=Uの2行目に !を3行目に
• itc-lms.ecc.u-tokyo.ac.jp
3
rsin 0
を掛けたもの.
Ć
