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を意味する.
良問
【基礎 0.3.9】 (1995TOT 秋 JO 間4)
三角形 ABC の LA の二等分線と辺BCの交点を
M とし, LA の外角の二等分線と直線BC の交点を
N とする. また, 三角形 ABCの外接円の点Aにお
ける接線と 直線BC の交点を K とする. このとき
MK =KN を証明せよ。
B
db
A
M /CK
となり, MK AK が得られる.
また, LCAN = LNAD より
a
D
N
解答図のように,線分 BA のAの方向への延長上
に点Dを取る. 接弦定理より LCAK = LABM で
ある. LBAM=LMAC より
LKMA= LBAM + LABM =外角
= LMAC + LCAK = LKAM
LKNA + LABM = LNAD = LCAN
=LKAN+LCAK
ba
b
であるので, LABM=LCAK 各辺から引いて
LKNA = LKAN が得られる. したがって AK =
KN である. これと MK = AK より MK =KN
がわかる.
0
0
注 Kは直角三角形 AMN の斜辺の中点で, その
外心である.
【基礎 0.3.10】 (1995TOT 春 SA 問3)
台形の互いに平行でない2辺を直径とするふたつの
円を考える. 台形の対角線の交点がこのふたつの円
の外にあるとき、 対角線の交点からふたつの円に引
いた4本の接線の接点までの線分の長さは、 すべて
等しいことを証明せよ.
解答 AD // BC である台形 ABCD の 対角線の交
点をOとする. また AB を直径とする円と直線
AC の A 以外の交点を X とし, CD を直径とする
円 T2 が BD と交わる D以外の点を Y とする.
同じ円に対する2本の接線の長さは等しいの
で, 0 から T1, T2 に引いた接線の長さが等しい
ことを示せばよい。それには、方の定理から。
OX-OAOY･OD を示せばよい。
三角形 AOD と COB は相似であるから,
OC
OB
である.
また三角形 OBX と三角形 OCY は相似である。
(なぜなら LXOB = LYOC, LOXB = LOYC =
OC OY
であり、ゆえに
OB OX
つまり OX-OA = OYOD となり
0
90° である) よって =
OA OY
OD OX'
証明が完了した。
B
A
AS
OA
OD
D
C
●アポロニウスの円
2定点A,B までの距離の比が一定値k (≠1) で
ある点Pの軌跡は CD を直径とする円である. こ
こで C, D は直線AB上にあり、符号付き長さで
AC:CB=AD: DB を満たす2点である. このC.
DをA,Bの調和共役点と呼ぶ.
