基本 例題 83
極方程式と軌跡
00000
点 A の極座標を (10,0),極Oと点Aを結ぶ線分を直径とする円Cの周上の任
意の点をQとする。点Qにおける円Cの接線に極Oから垂線OPを下ろし、点
Pの極座標を (0) とするとき,その軌跡の極方程式を求めよ。 ただし,
00とする。
[類 岡山理科大 ]
基本 81
指針▷点P(r, 0) について,r, 0の関係式を導くために,円 C の中心Cから直線 OP に垂線
CH を下ろし, OP HP, OH の関係に注目する。
π
2
***, 0<<
π
<<πで場合分けをして, 0の関係式を求め,次に, 0=0,
21
π
の各場合について吟味する。
11
2
CHART 軌跡 軌跡上の動点 (r, 0)の関係式を導くメール
解答
円Cの中心をCとし, Cから直線 OP に垂線 CH を下ろすと
OP=r, HP=5
[1]
[1]08<のとき
P
π
2
線分 OP 上にあるときと,
線分 OP の延長上にある
ときに分かれる。
40= を境目として,Hが
OP=HP+OH
OH=5cos0 であるから
r=5+5cose
[2]のとき
H-
000+1
5
-5-- C A
X
直角三角形 COH に注目。
い
に
2
[2]
OP-HP-OH
O
ここで OH=5cos(π-0)=-5cose
直角三角形 COH に注目。
よってr=5+5cos0
[3] 0=0 のとき,PはAに一致し、
OP=5+5cos0 を満たす。 (*)
0
C
A
x
(*) [1], [2]で導かれた
HT-O
C
[4]0=1のとき,OP=5 で,
π
OP=5+5cos を満たす。
(*)
以上から、求める軌跡の極方程式はr=5+5cos 0
r=5+5cosが0=0,
π
2
のときも成り立つかどうか
をチェックする。
参考 r=5(1+cose) で表さ
れる曲線をカージオイドと
いう (p.151 も参照)。
極座標、極方程式
